Già alle elementari, gli studenti si trovano ad affrontare le frazioni. E poi compaiono in ogni argomento. È impossibile dimenticare le azioni con questi numeri. Pertanto, è necessario conoscere tutte le informazioni sulle frazioni ordinarie e decimali. Questi concetti sono semplici, l'importante è capire tutto in ordine.
Perché abbiamo bisogno delle frazioni?
Il mondo intorno a noi è costituito da oggetti interi. Pertanto, non c'è bisogno di condivisioni. Ma la vita di tutti i giorni spinge costantemente le persone a lavorare con parti di oggetti e cose.
Ad esempio, il cioccolato è composto da diverse fette. Considera la situazione in cui la sua tessera è formata da dodici rettangoli. Se lo dividi in due, ottieni 6 parti. Sarà ben diviso in tre. Ma a cinque non può essere dato un numero intero di pezzi di cioccolato.
A proposito, queste fette sono già frazioni. E la loro ulteriore divisione porta a numeri più complessi.
Cos'è una "frazione"?
Questo è un numero composto da parti di uno. Esternamente, sembra due numeri separati daorizzontale o barra. Questa caratteristica è chiamata frazionaria. Il numero scritto in alto (a sinistra) è chiamato numeratore. Quello sotto (a destra) è il denominatore.
In effetti, la barra frazionaria risulta essere un segno di divisione. Cioè, il numeratore può essere chiamato dividendo e il denominatore può essere chiamato divisore.
Quali frazioni esistono?
Ci sono solo due tipi in matematica: le frazioni ordinarie e decimali. Gli scolari fanno conoscenza con i primi delle classi elementari, chiamandoli semplicemente "frazioni". Il secondo impara in quinta elementare. Ecco quando compaiono questi nomi.
Frazioni ordinarie - tutte quelle che sono scritte come due numeri separati da una barra. Ad esempio, 4/7. Decimale è un numero in cui la parte frazionaria ha una notazione posizionale ed è separata dall'intero con una virgola. Ad esempio, 4, 7. Gli studenti devono essere chiari sul fatto che i due esempi forniti sono numeri completamente diversi.
Ogni frazione semplice può essere scritta come decimale. Questa affermazione è quasi sempre vera anche al contrario. Ci sono regole che ti permettono di scrivere una frazione decimale come frazione ordinaria.
Quali sottotipi hanno questi tipi di frazioni?
Meglio iniziare in ordine cronologico mentre vengono studiati. Le frazioni comuni vengono prima. Tra queste si possono distinguere 5 sottospecie.
- Corretto. Il suo numeratore è sempre minore del denominatore.
- Sbagliato. Il suo numeratore è maggiore o uguale al denominatore.
- Riducibile/irriducibile. Potrebbe essere comegiusto e sbagliato. Un' altra cosa è importante, se il numeratore e denominatore hanno fattori comuni. Se ci sono, allora dovrebbero dividere entrambe le parti della frazione, cioè ridurla.
- Misto. Un intero viene assegnato alla sua parte frazionaria corretta (errata) usuale. E si trova sempre sulla sinistra.
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Composito. È formato da due frazioni divise l'una nell' altra. Cioè, contiene tre funzioni frazionarie contemporaneamente.
Le frazioni decimali hanno solo due sottotipi:
- finale, cioè quella la cui parte frazionaria è limitata (ha una fine);
- infinito - un numero le cui cifre dopo il punto decimale non terminano (possono essere scritte all'infinito).
Come convertire un decimale in una frazione comune?
Se questo è un numero finito, viene applicata l'associazione basata sulla regola - come ho sentito, quindi scrivo. Cioè, devi leggerlo correttamente e scriverlo, ma senza virgola, ma con una linea frazionaria.
Come suggerimento sul denominatore richiesto, ricorda che è sempre uno e alcuni zeri. Quest'ultimo deve essere scritto tante quante sono le cifre nella parte frazionaria del numero in questione.
Come convertire le frazioni decimali in quelle ordinarie, se manca la loro intera parte, cioè uguale a zero? Ad esempio, 0,9 o 0,05 Dopo aver applicato la regola specificata, risulta che è necessario scrivere zero numeri interi. Ma non è indicato. Resta da annotare solo le parti frazionarie. Al primo numeroil denominatore sarà pari a 10, il secondo avrà 100. Cioè, gli esempi indicati avranno come risposte numeri: 9/10, 5/100. Inoltre, quest'ultimo può essere ridotto di 5. Pertanto, il risultato per esso dovrebbe essere scritto 1/20.
Come ricavare una frazione ordinaria da un decimale se la sua parte intera è diversa da zero? Ad esempio, 5, 23 o 13, 00108. Entrambi gli esempi leggono la parte intera e ne scrivono il valore. Nel primo caso, questo è 5, nel secondo - 13. Quindi devi passare alla parte frazionaria. Con loro è necessario eseguire la stessa operazione. Il primo numero appare 23/100, il secondo - 108/100000. Il secondo valore deve essere nuovamente ridotto. La risposta è frazioni miste: 5 23/100 e 13 27/25000.
Come convertire un decimale infinito in una frazione comune?
Se non è periodico, non è possibile eseguire tale operazione. Questo fatto è dovuto al fatto che ogni frazione decimale viene sempre convertita in finale o periodica.
L'unica cosa che puoi fare con una tale frazione è arrotondarla. Ma allora il decimale sarà approssimativamente uguale a quell'infinito. Può già essere trasformato in uno normale. Ma il processo inverso: la conversione in decimale non darà mai il valore iniziale. Cioè, le frazioni infinite non periodiche non vengono convertite in frazioni ordinarie. Questo è qualcosa da ricordare.
Come si scrive una frazione periodica infinita come frazione comune?
In questi numeri, dopo la virgola, compaiono sempre una o più cifre, che si ripetono. Si chiamano periodi. Ad esempio, 03(3). Qui "3" nel periodo. Sono classificati come razionali perché possono essere convertiti in frazioni ordinarie.
Coloro che hanno incontrato frazioni periodiche sanno che possono essere pure o miste. Nel primo caso, il periodo decorre immediatamente dalla virgola. Nella seconda, la parte frazionaria inizia con qualsiasi numero, quindi inizia la ripetizione.
La regola secondo la quale devi scrivere un decimale infinito come frazione ordinaria sarà diversa per questi due tipi di numeri. È abbastanza facile scrivere frazioni periodiche pure come frazioni ordinarie. Come per gli ultimi, devono essere convertiti: scrivi il punto al numeratore e il numero 9 sarà il denominatore, ripetendo tante volte quante sono le cifre del punto.
Ad esempio, 0, (5). Il numero non ha una parte intera, quindi è necessario procedere immediatamente alla parte frazionaria. Scrivi 5 al numeratore e 9 al denominatore, ovvero la risposta sarà la frazione 5/9.
La regola su come scrivere una frazione periodica decimale ordinaria che è mista.
- Conta le cifre frazionarie fino al punto. Indicheranno il numero di zeri nel denominatore.
- Visualizza la durata del periodo. Tanto 9 avrà un denominatore.
- Scrivi il denominatore: prima i nove, poi gli zeri.
- Per determinare il numeratore, devi annotare la differenza di due numeri. Tutte le cifre dopo il punto decimale verranno ridotte, insieme al punto. Sottraibile - è senza punto.
Ad esempio, 0, 5(8) - scrivi la frazione decimale periodica come frazione comune. La parte frazionaria prima del periodo èuna cifra. Quindi zero sarà uno. C'è anche solo una cifra nel periodo - 8. Cioè, c'è solo un nove. Cioè, al denominatore devi scrivere 90.
Per determinare il numeratore da 58, devi sottrarre 5. Risulta 53. Ad esempio, la risposta dovrà essere scritta 53/90.
Come si convertono le frazioni comuni in decimali?
L'opzione più semplice è un numero il cui denominatore è il numero 10, 100 e così via. Quindi il denominatore viene semplicemente scartato e viene inserita una virgola tra la parte frazionaria e quella intera.
Ci sono situazioni in cui il denominatore diventa facilmente 10, 100, ecc. Ad esempio i numeri 5, 20, 25. Basta moltiplicarli rispettivamente per 2, 5 e 4. È richiesta solo la moltiplicazione non solo per il denominatore, ma anche per il numeratore per lo stesso numero.
Per tutti gli altri casi è utile una semplice regola: dividere il numeratore per il denominatore. In questo caso, potresti ottenere due risposte: una frazione decimale finale o periodica.
Azioni con frazioni comuni
Addizione e sottrazione
Gli studenti li conoscono prima degli altri. E all'inizio le frazioni hanno gli stessi denominatori, e poi differenti. Le regole generali possono essere ridotte a questo piano.
- Trova il minimo comune multiplo dei denominatori.
- Registra fattori aggiuntivi a tutte le frazioni comuni.
- Moltiplica numeratori e denominatori per i fattori definiti per loro.
- Aggiungi (sottrai) i numeratori delle frazioni e lascia il denominatore comune senzamodifiche.
- Se il numeratore del minuendo è minore del sottraendo, allora devi scoprire se abbiamo un numero misto o una frazione propria.
- Nel primo caso, la parte intera deve prenderne uno. Somma un denominatore al numeratore di una frazione. E poi fai la sottrazione.
- Nella seconda - è necessario applicare la regola della sottrazione da un numero più piccolo a uno più grande. Cioè, sottrai il modulo del minuendo dal modulo del sottraendo e metti il segno "-" in risposta.
- Guarda attentamente il risultato dell'addizione (sottrazione). Se ottieni una frazione impropria, dovrebbe selezionare l'intera parte. Cioè, dividi il numeratore per il denominatore.
Moltiplicazione e divisione
Per la loro implementazione, non è necessario ridurre le frazioni a un denominatore comune. Questo rende più facile agire. Ma devono comunque seguire le regole.
- Quando si moltiplicano le frazioni ordinarie, è necessario considerare i numeri nei numeratori e nei denominatori. Se un qualsiasi numeratore e denominatore hanno un fattore comune, possono essere ridotti.
- Moltiplica i numeratori.
- Moltiplica i denominatori.
- Se il risultato è una frazione ridotta, allora dovrebbe essere semplificata di nuovo.
- Quando dividi, devi prima sostituire la divisione con la moltiplicazione e il divisore (seconda frazione) con un reciproco (scambia numeratore e denominatore).
- Quindi procedi come nella moltiplicazione (a partire dal punto 1).
- Nelle attività in cui devi moltiplicare (dividere) per un numero intero, l'ultimodovrebbe essere scritto come una frazione impropria. Cioè, con un denominatore di 1. Quindi procedi come descritto sopra.
Operazioni decimali
Addizione e sottrazione
Certo, puoi sempre trasformare un decimale in una frazione comune. E agire secondo il piano già descritto. Ma a volte è più conveniente agire senza questa traduzione. Quindi le regole per sommarle e sottrarle saranno esattamente le stesse.
- Equalizza il numero di cifre nella parte frazionaria del numero, ovvero dopo il punto decimale. Assegna il numero mancante di zeri in esso.
- Scrivi le frazioni in modo che la virgola sia sotto la virgola.
- Aggiungi (sottrai) come numeri naturali.
- Rimuovi la virgola.
Moltiplicazione e divisione
È importante non aggiungere zeri qui. Le frazioni dovrebbero essere lasciate come sono fornite nell'esempio. E poi vai secondo i piani.
- Per la moltiplicazione, scrivi le frazioni una sotto l' altra, ignorando le virgole.
- Moltiplica come numeri naturali.
- Inserisci una virgola nella risposta, contando dall'estremità destra della risposta tante cifre quante sono le parti frazionarie di entrambi i fattori.
- Per dividere, devi prima convertire il divisore: rendilo un numero naturale. Cioè, moltiplicalo per 10, 100, ecc., a seconda di quante cifre ci sono nella parte frazionaria del divisore.
- Moltiplica il dividendo per lo stesso numero.
- Dividi un decimale per un numero naturale.
- Inserisci una virgola nella risposta nel momento in cui la divisione della parte intera è terminata.
E se ci sono entrambi i tipi di frazioni in un esempio?
Sì, in matematica ci sono spesso esempi in cui è necessario eseguire operazioni su frazioni ordinarie e decimali. Ci sono due possibili soluzioni a questi problemi. Devi pesare oggettivamente i numeri e scegliere quello migliore.
Primo modo: rappresenta i decimali ordinari
È adatto se la divisione o la conversione risulta in frazioni finite. Se almeno un numero fornisce una parte periodica, questa tecnica è vietata. Pertanto, anche se non ti piace lavorare con le frazioni ordinarie, dovrai contarle.
Secondo modo: scrivi le frazioni decimali come frazioni comuni
Questa tecnica è utile se ci sono 1-2 cifre dopo la virgola. Se ce ne sono più, può risultare una frazione ordinaria molto grande e le voci decimali ti permetteranno di calcolare l'attività più velocemente e più facilmente. Pertanto, dovresti sempre valutare con sobrietà l'attività e scegliere il metodo di soluzione più semplice.
