Il problema di Goldbach è uno dei problemi più antichi e pubblicizzati nella storia di tutta la matematica.
Questa congettura si è dimostrata vera per tutti gli interi inferiori a 4 × 1018, ma rimane non dimostrata nonostante i notevoli sforzi dei matematici.
Numero
Il numero di Goldbach è un intero positivo pari che è la somma di una coppia di numeri primi dispari. Un' altra forma della congettura di Goldbach è che tutti gli interi pari maggiori di quattro sono numeri di Goldbach.
La separazione di tali numeri è chiamata partizione (o partizione) di Goldbach. Di seguito sono riportati esempi di sezioni simili per alcuni numeri pari:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Scoperta dell'ipotesi
Goldbach aveva un collega di nome Eulero, a cui piaceva contare, scrivere formule complesse e proporre teorie irrisolvibili. In questo erano simili a Goldbach. Eulero fece un simile enigma matematico anche prima di Goldbach, con il quale luicorrispondenza costante. Propone quindi un secondo suggerimento a margine del suo manoscritto, secondo il quale un intero maggiore di 2 potrebbe essere scritto come somma di tre numeri primi. Considerava 1 un numero primo.
Le due ipotesi sono ora note per essere simili, ma questo non sembrava essere un problema in quel momento. La versione moderna del problema di Goldbach afferma che ogni intero maggiore di 5 può essere scritto come la somma di tre numeri primi. Eulero rispose in una lettera del 30 giugno 1742, e ricordò a Goldbach una precedente conversazione che avevano avuto ("… quindi stiamo parlando dell'ipotesi originale (e non marginale) derivante dalla seguente affermazione").
Problema Eulero-Goldbach
2 e i suoi numeri pari possono essere scritti come la somma di due numeri primi, che è anche la congettura di Goldbach. In una lettera del 30 giugno 1742, Eulero affermava che ogni intero pari è il risultato dell'addizione di due numeri primi, che considera un teorema ben definito, sebbene non possa dimostrarlo.
Terza versione
La terza versione del problema di Goldbach (equivalente alle altre due versioni) è la forma in cui la congettura viene solitamente data oggi. È anche nota come congettura di Goldbach "forte", "pari" o "binaria" per distinguerla dall'ipotesi più debole conosciuta oggi come congettura di Goldbach "debole", "dispari" o "ternaria". La congettura debole afferma che tutti i numeri dispari maggiori di 7 sono la somma di tre numeri primi dispari. La congettura debole è stata dimostrata nel 2013. L'ipotesi debole èconseguenza di una forte ipotesi. Il corollario inverso e la forte congettura di Goldbach non sono ancora stati dimostrati fino ad oggi.
Controlla
Per piccoli valori di n, si può verificare il problema di Goldbach (e quindi la congettura di Goldbach). Ad esempio, Nils Pipping nel 1938 sperimentò attentamente l'ipotesi fino a n ≦ 105. Con l'avvento dei primi computer furono calcolati molti più valori di n.
Oliveira Silva ha eseguito una ricerca su computer distribuito che ha confermato l'ipotesi per n ≦ 4 × 1018 (e ricontrollato fino a 4 × 1017) a partire dal 2013. Una voce di questa ricerca è che 3.325.581.707.333.960.528 è il numero più piccolo che non ha una divisione Goldbach con un primo inferiore a 9781.
Euristica
La versione per la forma forte della congettura di Goldbach è la seguente: poiché la quantità tende all'infinito all'aumentare di n, ci aspettiamo che ogni intero grande pari abbia più di una rappresentazione come somma di due primi. Ma in re altà, ci sono molte di queste rappresentazioni. Chi ha risolto il problema Goldbach? Ahimè, ancora nessuno.
Questa argomentazione euristica è in re altà alquanto imprecisa, in quanto presuppone che m sia statisticamente indipendente da n. Ad esempio, se m è dispari, allora n - m è anche dispari, e se m è pari, n - m è pari, e questa è una relazione non banale (complessa), perché a parte il numero 2, solo dispari i numeri possono essere primi. Allo stesso modo, se n è divisibile per 3 e m era già un primo diverso da 3, allora anche n - m è reciprocamenteprimo con 3, quindi è più probabile che sia un numero primo rispetto a un numero totale. Effettuando questo tipo di analisi con maggiore attenzione, Hardy e Littlewood nel 1923, come parte della loro famosa congettura della tupla semplice di Hardy-Littlewood, perfezionarono l'intera teoria sopra. Ma finora non ha aiutato a risolvere il problema.
Ipotesi forte
La congettura di Goldbach forte è molto più complicata della congettura di Goldbach debole. Shnirelman in seguito dimostrò che qualsiasi numero naturale maggiore di 1 può essere scritto come somma al massimo di C primi, dove C è una costante effettivamente calcolabile. Molti matematici hanno cercato di risolverlo, contando e moltiplicando numeri, offrendo formule complesse, ecc. Ma non ci sono mai riusciti, perché l'ipotesi è troppo complicata. Nessuna formula aiutata.
Ma vale la pena allontanarsi dalla questione di provare un po' il problema di Goldbach. La costante di Shnirelman è il numero C più piccolo con questa proprietà. Lo stesso Shnirelman ha ottenuto C <800 000. Questo risultato è stato successivamente integrato da molti autori, come Olivier Ramaret, che ha mostrato nel 1995 che ogni numero pari n ≧ 4 è in re altà la somma di al massimo sei numeri primi. Il risultato più famoso attualmente associato alla teoria di Goldbach di Harald Helfgott.
Ulteriori sviluppi
Nel 1924, Hardy e Littlewood assunsero G. R. H. ha mostrato che il numero di numeri pari fino a X, violando il problema binario di Goldbach, è molto inferiore a quello del c. piccolo
Nel 1973 Chen JingyunHo provato a risolvere questo problema, ma non ha funzionato. Era anche un matematico, quindi amava risolvere enigmi e dimostrare teoremi.
Nel 1975, due matematici americani hanno mostrato che esistono costanti positive c e C, quelle per le quali N è sufficientemente grande. In particolare, l'insieme degli interi pari ha densità zero. Tutto ciò è stato utile per lavorare sulla soluzione del problema ternario di Goldbach, che avverrà in futuro.
Nel 1951, Linnik dimostrò l'esistenza di una costante K tale che ogni numero pari sufficientemente grande è il risultato della somma di un numero primo e di un altro numero primo l'uno all' altro. Roger Heath-Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta hanno scoperto nel 2002 che K=13 funziona. Questo è molto interessante per tutte le persone a cui piace sommarsi, sommare numeri diversi e vedere cosa succede.
Soluzione del problema Goldbach
Come per molte ben note congetture in matematica, ci sono un certo numero di presunte dimostrazioni della congettura di Goldbach, nessuna delle quali è accettata dalla comunità matematica.
Sebbene la congettura di Goldbach implichi che ogni intero positivo maggiore di uno può essere scritto come somma di al massimo tre numeri primi, non è sempre possibile trovare tale somma usando un algoritmo avido che utilizza il numero primo più grande possibile ad ogni passo. La sequenza di Pillai tiene traccia dei numeri che richiedono il maggior numero di primi nelle loro avide rappresentazioni. Quindi la soluzione al problema di Goldbachancora in questione. Tuttavia, prima o poi molto probabilmente si risolverà.
Ci sono teorie simili al problema di Goldbach in cui i numeri primi sono sostituiti da altri insiemi specifici di numeri, come i quadrati.
Christian Goldbach
Christian Goldbach era un matematico tedesco che studiò anche legge. Oggi è ricordato per la congettura di Goldbach.
Ha lavorato come matematico per tutta la vita - amava molto aggiungere numeri, inventare nuove formule. Conosceva anche diverse lingue, in ognuna delle quali teneva il suo diario personale. Queste lingue erano tedesco, francese, italiano e russo. Inoltre, secondo alcune fonti, parlava inglese e latino. Era conosciuto come un matematico abbastanza noto durante la sua vita. Goldbach era anche molto legato alla Russia, perché aveva molti colleghi russi e il favore personale della famiglia reale.
Ha continuato a lavorare presso l'Accademia delle scienze di San Pietroburgo di recente apertura nel 1725 come professore di matematica e storico dell'accademia. Nel 1728, quando Pietro II divenne zar di Russia, Goldbach divenne il suo mentore. Nel 1742 entrò nel ministero degli Esteri russo. Cioè, ha effettivamente lavorato nel nostro paese. A quel tempo, molti scienziati, scrittori, filosofi e militari vennero in Russia, perché la Russia a quel tempo era un paese di opportunità come l'America. Molti hanno fatto carriera qui. E il nostro eroe non fa eccezione.
Christian Goldbach era multilingue - scrisse un diario in tedesco e latino, le sue lettereerano scritti in tedesco, latino, francese e italiano, e per i documenti ufficiali usava russo, tedesco e latino.
Morì il 20 novembre 1764 all'età di 74 anni a Mosca. Il giorno in cui il problema di Goldbach sarà risolto sarà un giusto tributo alla sua memoria.
Conclusione
Goldbach è stato un grande matematico che ci ha dato uno dei più grandi misteri di questa scienza. Non si sa se sarà mai risolto o meno. Sappiamo solo che la sua presunta risoluzione, come nel caso del teorema di Fermat, aprirà nuove prospettive per la matematica. I matematici amano molto risolverlo e analizzarlo. È molto interessante e curioso da un punto di vista euristico. Anche agli studenti di matematica piace risolvere il problema di Goldbach. In che altro modo? Dopotutto, i giovani sono costantemente attratti da tutto ciò che è brillante, ambizioso e irrisolto, perché superando le difficoltà ci si può affermare. Speriamo che presto questo problema venga risolto da menti giovani, ambiziose e curiose.
