Le matrici (tabelle con elementi numerici) possono essere utilizzate per vari calcoli. Alcuni di essi sono moltiplicazioni per un numero, un vettore, un' altra matrice, diverse matrici. Il prodotto a volte non è corretto. Un risultato errato è il risultato dell'ignoranza delle regole per eseguire azioni computazionali. Scopriamo come fare la moltiplicazione.
Matrice e numero
Iniziamo con la cosa più semplice: moltiplicare una tabella con numeri per un valore specifico. Ad esempio, abbiamo una matrice A con elementi aij (i sono i numeri di riga e j sono i numeri di colonna) e il numero e. Il prodotto della matrice per il numero e sarà la matrice B con gli elementi bij, che si trovano con la formula:
bij=e × aij.
T. e. per ottenere l'elemento b11 devi prendere l'elemento a11 e moltiplicarlo per il numero desiderato, per ottenere b12 è necessario trovare il prodotto dell'elemento a12 e il numero e, ecc.
Risolviamo il problema numero 1 presentato nell'immagine. Per ottenere la matrice B, moltiplica semplicemente gli elementi di A per 3:
- a11 × 3=18. Scriviamo questo valore nella matrice B nel punto in cui la colonna n. 1 e la riga n. 1 si intersecano.
- a21 × 3=15. Abbiamo l'elemento b21.
- a12 × 3=-6. Abbiamo ricevuto l'elemento b12. Lo scriviamo nella matrice B nel punto in cui la colonna n. 2 e la riga n. 1 si intersecano.
- a22 × 3=9. Questo risultato è l'elemento b22.
- a13 × 3=12. Inserisci questo numero nella matrice al posto dell'elemento b13.
- a23 × 3=-3. L'ultimo numero ricevuto è l'elemento b23.
Così, abbiamo ottenuto un array rettangolare con elementi numerici.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vettori e condizione per l'esistenza di un prodotto di matrici
Nelle discipline matematiche esiste un "vettore". Questo termine si riferisce a un insieme ordinato di valori da a1 a a . Sono chiamate coordinate dello spazio vettoriale e sono scritte come una colonna. C'è anche il termine "vettore trasposto". I suoi componenti sono disposti come una stringa.
I vettori possono essere chiamati matrici:
- il vettore di colonna è una matrice costruita da una colonna;
- vettore riga è una matrice che include solo una riga.
Al terminesulle matrici di operazioni di moltiplicazione, è importante ricordare che esiste una condizione per l'esistenza di un prodotto. L'azione di calcolo A × B può essere eseguita solo quando il numero di colonne della tabella A è uguale al numero di righe della tabella B. La matrice risultante dal calcolo ha sempre il numero di righe della tabella A e il numero di colonne nella tabella B.
Quando si moltiplica, non è consigliabile riorganizzare le matrici (moltiplicatori). Il loro prodotto di solito non corrisponde alla legge della moltiplicazione commutativa (spostamento), cioè il risultato dell'operazione A × B non è uguale al risultato dell'operazione B × A. Questa caratteristica è chiamata non commutatività del prodotto di matrici. In alcuni casi, il risultato della moltiplicazione A × B è uguale al risultato della moltiplicazione B × A, cioè il prodotto è commutativo. Le matrici per le quali vale l'uguaglianza A × B=B × A sono dette matrici di permutazione. Vedere esempi di tali tabelle di seguito.
Moltiplicazione per un vettore colonna
Quando moltiplichiamo una matrice per un vettore colonna, dobbiamo prendere in considerazione la condizione per l'esistenza del prodotto. Il numero di colonne (n) nella tabella deve corrispondere al numero di coordinate che compongono il vettore. Il risultato del calcolo è il vettore trasformato. Il suo numero di coordinate è uguale al numero di linee (m) dalla tabella.
Come vengono calcolate le coordinate del vettore y se esiste una matrice A e un vettore x? Per calcoli creati formule:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
……………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
dove x1, …, x sono le coordinate del vettore x, m è il numero di righe nella matrice e il numero di coordinate nel nuovo vettore y, n è il numero di colonne nella matrice e il numero di coordinate nel vettore x, a11, a12, …, amn– elementi della matrice A.
Così, per ottenere la i-esima componente del nuovo vettore, si esegue il prodotto scalare. L'i-esimo vettore di riga viene preso dalla matrice A, e viene moltiplicato per il vettore disponibile x.
Risolviamo il problema 2. Puoi trovare il prodotto di una matrice e di un vettore perché A ha 3 colonne e x consiste di 3 coordinate. Di conseguenza, dovremmo ottenere un vettore colonna con 4 coordinate. Usiamo le formule di cui sopra:
- Calcola y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Il valore finale è 2.
- Calcola y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Quando calcoliamo, otteniamo 0.
- Calcola y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). La somma dei prodotti dei fattori indicati è 6.
- Calcola y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). La coordinata è -8.
Moltiplicazione di righe vettoriali-matrici
Non puoi moltiplicare una matrice con più colonne per un vettore riga. In tali casi, la condizione per l'esistenza dell'opera non è soddisfatta. Ma è possibile la moltiplicazione di un vettore riga per una matrice. Questol'operazione di calcolo viene eseguita quando il numero di coordinate nel vettore e il numero di righe nella tabella corrispondono. Il risultato del prodotto di un vettore e di una matrice è un nuovo vettore di riga. Il suo numero di coordinate deve essere uguale al numero di colonne nella matrice.
Il calcolo della prima coordinata di un nuovo vettore implica la moltiplicazione del vettore riga e del primo vettore colonna dalla tabella. La seconda coordinata viene calcolata in modo simile, ma invece del primo vettore colonna viene preso il secondo vettore colonna. Ecco la formula generale per il calcolo delle coordinate:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, dove yk è una coordinata del vettore y, (k è compreso tra 1 e n), m è il numero di righe nella matrice e il numero di coordinate nel vettore x, n è il numero di colonne nella matrice e il numero di coordinate nel vettore y, a con indici alfanumerici sono gli elementi della matrice A.
Prodotto di matrici rettangolari
Questo calcolo può sembrare complicato. Tuttavia, la moltiplicazione è facile. Cominciamo con una definizione. Il prodotto di una matrice A con m righe e n colonne e una matrice B con n righe e p colonne è una matrice C con m righe e p colonne, in cui l'elemento cij è il somma dei prodotti degli elementi i-esima riga della tabella A e j-esima colonna della tabella B. In termini più semplici, l'elemento cij è il prodotto scalare della i-esima riga vettore dalla tabella A e j-esimo vettore colonna dalla tabella B.
Ora scopriamo in pratica come trovare il prodotto di matrici rettangolari. Risolviamo per questo il problema n. 3. La condizione per l'esistenza di un prodotto è soddisfatta. Iniziamo a calcolare gli elementi cij:
- La matrice C avrà 2 righe e 3 colonne.
- Calcola l'elemento c11. Per fare ciò, eseguiamo il prodotto scalare della riga n. 1 della matrice A e della colonna n. 1 della matrice B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Quindi procediamo in modo simile, cambiando solo righe, colonne (a seconda dell'indice dell'elemento).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Gli elementi vengono calcolati. Ora resta solo da fare un blocco rettangolare dei numeri ricevuti.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Moltiplicazione di tre matrici: la parte teorica
Riesci a trovare il prodotto di tre matrici? Questa operazione di calcolo è fattibile. Il risultato può essere ottenuto in diversi modi. Ad esempio, ci sono 3 tabelle quadrate (dello stesso ordine) - A, B e C. Per calcolare il prodotto, puoi:
- Moltiplica prima A e B. Quindi moltiplica il risultato per C.
- Prima trova il prodotto di B e C. Quindi moltiplica la matrice A per il risultato.
Se devi moltiplicare matrici rettangolari, devi prima assicurarti che questa operazione di calcolo sia possibile. Dovrebberoesistono prodotti A × B e B × C.
La moltiplicazione incrementale non è un errore. Esiste una cosa come "l'associatività della moltiplicazione di matrici". Questo termine si riferisce all'uguaglianza (A × B) × C=A × (B × C).
Pratica di moltiplicazione a tre matrici
Matrici quadrate
Inizia moltiplicando piccole matrici quadrate. La figura seguente mostra il problema numero 4, che dobbiamo risolvere.
Utilizzeremo la proprietà di associatività. Per prima cosa moltiplichiamo A e B, o B e C. Ricordiamo solo una cosa: non puoi scambiare fattori, cioè non puoi moltiplicare B × A o C × B. Con questa moltiplicazione, otterremo un risultato errato.
Avanzamento della decisione.
Fase uno. Per trovare il prodotto comune, moltiplichiamo prima A per B. Quando moltiplichiamo due matrici, saremo guidati dalle regole che sono state delineate sopra. Quindi, il risultato della moltiplicazione di A e B sarà una matrice D con 2 righe e 2 colonne, ovvero una matrice rettangolare includerà 4 elementi. Troviamoli facendo il calcolo:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Risultato intermedio pronto.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Fase due. Ora moltiplichiamo la matrice D per la matrice C. Il risultato dovrebbe essere una matrice quadrata G con 2 righe e 2 colonne. Calcola elementi:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Quindi, il risultato del prodotto di matrici quadrate è una tabella G con elementi calcolati.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Matrici rettangolari
La figura seguente mostra il problema numero 5. È necessario moltiplicare matrici rettangolari e trovare una soluzione.
Verifichiamo se è soddisfatta la condizione per l'esistenza dei prodotti A × B e B × C. Gli ordini delle matrici indicate ci permettono di effettuare la moltiplicazione. Iniziamo a risolvere il problema.
Avanzamento della decisione.
Fase uno. Moltiplica B per C per ottenere D. La matrice B ha 3 righe e 4 colonne e la matrice C ha 4 righe e 2 colonne. Ciò significa che otterremo una matrice D con 3 righe e 2 colonne. Calcoliamo gli elementi. Ecco 2 esempi di calcolo:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Continuiamo a risolvere il problema. Come risultato di ulteriori calcoli, troviamo i valori d21, d2 2, re31 e re32. Questi elementi sono rispettivamente 0, 19, 1 e 11. Scriviamo i valori trovati in una matrice rettangolare.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Fase due. Moltiplica A per D per ottenere la matrice finale F. Avrà 2 righe e 2 colonne. Calcola elementi:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Componi un array rettangolare, che è il risultato finale della moltiplicazione di tre matrici.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introduzione al lavoro diretto
Il materiale di difficile comprensione è il prodotto di matrici Kronecker. Ha anche un nome aggiuntivo: un'opera diretta. Cosa si intende con questo termine? Diciamo di avere la tavola A di ordine m × n e la tavola B di ordine p × q. Il prodotto diretto della matrice A e della matrice B è una matrice di ordine mp × nq.
Abbiamo 2 matrici quadrate A, B, che sono mostrate nell'immagine. Il primo ha 2 colonne e 2 righe e il secondo ha 3 colonne e 3 righe. Vediamo che la matrice risultante dal prodotto diretto è composta da 6 righe e esattamente lo stesso numero di colonne.
Come vengono calcolati gli elementi di una nuova matrice in un prodotto diretto? Trovare la risposta a questa domanda è molto facile se si analizza l'immagine. Per prima cosa compila la prima riga. Prendi il primo elemento dalla riga superiore della tabella A e moltiplica in sequenza per gli elementi della prima rigadalla tabella B. Quindi, prendi il secondo elemento della prima riga della tabella A e moltiplica in sequenza per gli elementi della prima riga della tabella B. Per riempire la seconda riga, prendi di nuovo il primo elemento dalla prima riga della tabella A e moltiplicalo per gli elementi della seconda riga della tabella B.
La matrice finale ottenuta dal prodotto diretto è chiamata matrice a blocchi. Se analizziamo nuovamente la figura, possiamo vedere che il nostro risultato è composto da 4 blocchi. Tutti includono elementi della matrice B. Inoltre, un elemento di ogni blocco viene moltiplicato per uno specifico elemento della matrice A. Nel primo blocco, tutti gli elementi vengono moltiplicati per a11, nel secondo - da a12, nel terzo - su a21, nel quarto - su a22.
Determinante del prodotto
Quando si considera il tema della moltiplicazione di matrici, vale la pena considerare un termine come “il determinante del prodotto di matrici”. Cos'è un determinante? Questa è una caratteristica importante di una matrice quadrata, un certo valore che viene assegnato a questa matrice. La designazione letterale del determinante è det.
Per una matrice A composta da due colonne e due righe, il determinante è facile da trovare. C'è una piccola formula che è la differenza tra i prodotti di elementi specifici:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Consideriamo un esempio di calcolo del determinante per una tabella del secondo ordine. Esiste una matrice A in cui a11=2, a12=3, a21=5 e a22=1. Per calcolare il determinante, utilizzare la formula:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Per matrici 3 × 3, il determinante viene calcolato utilizzando una formula più complessa. Viene presentato di seguito per la matrice A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Per ricordare la formula, abbiamo escogitato la regola del triangolo, illustrata nella figura. Innanzitutto, gli elementi della diagonale principale vengono moltiplicati. Al valore ottenuto vengono aggiunti i prodotti di quegli elementi indicati dagli angoli dei triangoli con i lati rossi. Quindi si sottrae il prodotto degli elementi della diagonale secondaria e si sottraggono i prodotti di quegli elementi indicati dagli angoli dei triangoli con i lati blu.
Ora parliamo del determinante del prodotto delle matrici. C'è un teorema che dice che questo indicatore è uguale al prodotto dei determinanti delle tabelle moltiplicatrici. Verifichiamo questo con un esempio. Abbiamo la matrice A con le voci a11=2, a12=3, a21=1 e a22=1 e matrice B con voci b11=4, b12=5, b 21 =1 e b22=2. Trova i determinanti per le matrici A e B, il prodotto A × B e il determinante di questo prodotto.
Avanzamento della decisione.
Fase uno. Calcola il determinante per A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Quindi, calcola il determinante per B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Fase due. Cerchiamoprodotto A × B. Indica la nuova matrice con la lettera C. Calcola i suoi elementi:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Fase tre. Calcola il determinante per C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Confronta con il valore che potrebbe essere ottenuto moltiplicando i determinanti delle matrici originali. I numeri sono gli stessi. Il teorema di cui sopra è vero.
Classifica del prodotto
Il rango di una matrice è una caratteristica che riflette il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti. Per calcolare il rango vengono eseguite le trasformazioni elementari della matrice:
- risistemazione di due file parallele;
- moltiplicando tutti gli elementi di una certa riga della tabella per un numero diverso da zero;
- aggiungere agli elementi di una riga di elementi di un' altra riga, moltiplicato per un numero specifico.
Dopo le trasformazioni elementari, guarda il numero di stringhe diverse da zero. Il loro numero è il rango della matrice. Considera l'esempio precedente. Presentava 2 matrici: A con elementi a11=2, a12=3, a21=1 e a22 =1 e B con elementi b11=4, b12=5, b21=1 e b22=2. Useremo anche la matrice C ottenuta come risultato della moltiplicazione. Se eseguiamo trasformazioni elementari, non ci saranno righe zero nelle matrici semplificate. Ciò significa che sia il rango della tabella A, sia il rango della tabella B, e il rangola tabella C è 2.
Ora prestiamo particolare attenzione al rango del prodotto delle matrici. C'è un teorema che dice che il rango di un prodotto di tabelle contenenti elementi numerici non supera il rango di nessuno dei fattori. Questo può essere dimostrato. Sia A una matrice k × s e B una matrice s × m. Il prodotto di A e B è uguale a C.
Studiamo l'immagine qui sopra. Mostra la prima colonna della matrice C e la sua notazione semplificata. Questa colonna è una combinazione lineare delle colonne incluse nella matrice A. Allo stesso modo, si può dire di qualsiasi altra colonna della matrice rettangolare C. Pertanto, il sottospazio formato dai vettori colonna della tabella C è nel sottospazio formato dal vettori di colonna della tabella A. Pertanto, la dimensione del sottospazio n. 1 non supera la dimensione del sottospazio n. 2. Ciò implica che il rango nelle colonne della tabella C non supera il rango nelle colonne della tabella A, cioè, r(C) ≦ r(A). Se si ragiona in modo simile, allora possiamo assicurarci che le righe della matrice C siano combinazioni lineari delle righe della matrice B. Ciò implica la disuguaglianza r(C) ≦ r(B).
Come trovare il prodotto delle matrici è un argomento piuttosto complicato. Può essere facilmente padroneggiato, ma per ottenere un risultato del genere, dovrai dedicare molto tempo a memorizzare tutte le regole e i teoremi esistenti.
