Alla parola "infinito" ogni persona ha le sue associazioni. Molti disegnano nella loro immaginazione il mare che va oltre l'orizzonte, mentre altri hanno davanti agli occhi l'immagine di un infinito cielo stellato. I matematici, abituati a operare con i numeri, immaginano l'infinito in un modo completamente diverso. Per molti secoli hanno cercato di trovare la più grande delle quantità fisiche necessarie per la misurazione. Uno di questi è il numero di Graham. Quanti zeri ci sono e a cosa serve, questo articolo lo dirà.
Numero infinitamente grande
In matematica, questo è il nome di tale variabile x , se per un dato numero positivo M si può specificare un numero naturale N tale che per tutti i numeri n maggiori di N la disuguaglianza |x | > M. Tuttavia no, ad esempio, l'intero Z può essere considerato infinitamente grande, poiché sarà sempre minore di (Z + 1).
Qualche parola sui "giganti"
I numeri più grandi che hanno un significato fisico sono considerati:
- 1080. Questo numero, comunemente chiamato quinquavigintillion, è usato per denotare il numero approssimativo di quark e leptoni (le particelle più piccole) nell'Universo.
- 1 Google. Tale numero nel sistema decimale viene scritto come unità con 100 zeri. Secondo alcuni modelli matematici, dal momento del big bang all'esplosione del buco nero più massiccio, dovrebbero passare da 1 a 1,5 anni googol, dopodiché il nostro universo si sposterà nell'ultimo stadio della sua esistenza, cioè possiamo supponiamo che questo numero abbia un certo significato fisico.
- 8, 5 x 10185. La costante di Planck è 1.616199 x 10-35 m, cioè in notazione decimale sembra 0.000000000000000000000000000000616199 m. Ci sono circa 1 lunghezza di googol Planck in un pollice. Si stima che circa 8,5 x 10185 Lunghezze Planck possano adattarsi al nostro intero universo.
- 277 232 917 – 1. Questo è il numero primo più grande conosciuto. Se la sua notazione binaria ha una forma abbastanza compatta, per rappresentarla in forma decimale, ci vorranno non meno di 13 milioni di caratteri. È stato trovato nel 2017 come parte di un progetto per la ricerca dei numeri di Mersenne. Se gli appassionati continuano a lavorare in questa direzione, all'attuale livello di sviluppo della tecnologia informatica, è improbabile che nel prossimo futuro riescano a trovare un numero di Mersenne di un ordine di grandezza maggiore di 277 232 917- 1, sebbene taleil fortunato vincitore riceverà 150.000 USD.
- Hugoplex. Qui prendiamo solo 1 e aggiungiamo zeri dopo di esso nella quantità di 1 googol. Puoi scrivere questo numero come 10^10^100. È impossibile rappresentarlo in forma decimale, perché se l'intero spazio dell'Universo è pieno di pezzi di carta, su ognuno dei quali verrebbe scritto 0 con un carattere "Word" di dimensione 10, allora in questo caso solo la metà di tutto 0 dopo 1 verrebbe ottenuto per il numero googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Questo è un numero che mostra il numero di anni dopo i quali, secondo il teorema di Poincaré, il nostro Universo, a seguito di fluttuazioni quantistiche casuali, tornerà ad uno stato vicino a quello di oggi.
Come sono nati i numeri di Graham
Nel 1977, il noto divulgatore della scienza Martin Gardner pubblicò un articolo su Scientific American riguardante la dimostrazione di Graham di uno dei problemi della teoria di Ramse. In esso, ha chiamato il limite fissato dallo scienziato il numero più grande mai usato in un serio ragionamento matematico.
Chi è Ronald Lewis Graham
Lo scienziato, ora ottantenne, è nato in California. Nel 1962 ha conseguito un dottorato di ricerca in matematica presso l'Università di Berkeley. Ha lavorato presso Bell Labs per 37 anni e successivamente si è trasferito in AT&T Labs. Lo scienziato ha collaborato attivamente con uno dei più grandi matematici del 20° secolo, Pal Erdős, ed è vincitore di numerosi premi prestigiosi. La bibliografia scientifica di Graham contiene più di 320 articoli scientifici.
A metà degli anni '70, lo scienziato era interessato al problema associato alla teoriaRamsey. Nella sua dimostrazione, è stato determinato il limite superiore della soluzione, che è un numero molto grande, successivamente intitolato a Ronald Graham.
Problema di ipercubo
Per capire l'essenza del numero di Graham, devi prima capire come è stato ottenuto.
Lo scienziato e il suo collega Bruce Rothschild stavano risolvendo il seguente problema:
C'è un ipercubo n-dimensionale. Tutte le coppie dei suoi vertici sono collegate in modo tale da ottenere un grafo completo con 2vertici. Ciascuno dei suoi bordi è colorato di blu o di rosso. Era necessario trovare il numero minimo di vertici che un ipercubo dovrebbe avere in modo che ciascuna di queste colorazioni contenga un sottografo monocromatico completo con 4 vertici che giacciono sullo stesso piano.
Decisione
Graham e Rothschild hanno dimostrato che il problema ha una soluzione N' che soddisfa la condizione 6 ⩽ N' ⩽N dove N è un numero ben definito, molto grande.
Il limite inferiore per N è stato successivamente perfezionato da altri scienziati, che hanno dimostrato che N deve essere maggiore o uguale a 13. Pertanto, l'espressione per il minor numero di vertici di un ipercubo che soddisfa le condizioni presentate sopra divenne 13 ⩽ N'⩽ N.
Notazione della freccia di Knuth
Prima di definire il numero di Graham, dovresti familiarizzare con il metodo della sua rappresentazione simbolica, poiché né la notazione decimale né quella binaria sono assolutamente adatte a questo.
Attualmente, la notazione della freccia di Knuth viene utilizzata per rappresentare questa quantità. Secondo lei:
ab=a "freccia su" b.
Per il funzionamento dell'esponenziazione multipla, è stata introdotta la voce:
a "freccia su" "freccia su" b=ab="una torre composta da a nella quantità di b pezzi."
E per la pentation, ovvero la designazione simbolica dell'esponenziazione ripetuta dell'operatore precedente, Knuth usava già 3 frecce.
Usando questa notazione per il numero di Graham, abbiamo sequenze di "frecce" annidate l'una nell' altra, per un importo di 64 pezzi.
Scala
Il loro famoso numero, che eccita l'immaginazione ed espande i confini della coscienza umana, portandola oltre i limiti dell'Universo, Graham e i suoi colleghi lo hanno ottenuto come limite superiore per il numero N nella dimostrazione dell'ipercubo problema presentato sopra. È estremamente difficile per una persona comune immaginare quanto sia grande la sua scala.
La questione del numero di caratteri, o come talvolta si dice erroneamente, gli zeri nel numero di Graham, interessa quasi tutti coloro che sentono parlare di questo valore per la prima volta.
Basta dire che abbiamo a che fare con una sequenza in rapida crescita composta da 64 membri. Anche il suo primo termine è impossibile da immaginare, poiché è costituito da n "torri", costituite da 3-a. Già il suo "lower floor" di 3 triple è pari a 7.625.597.484.987, ovvero supera i 7 miliardi, vale a dire del 64° piano (non un membro!). Pertanto, attualmente è impossibile dire esattamente quale sia il numero di Graham, poiché non è sufficiente calcolarlo.la potenza combinata di tutti i computer che esistono oggi sulla Terra.
Record rotto?
Nel processo di dimostrazione del teorema di Kruskal, il numero di Graham è stato “buttato giù dal piedistallo”. Lo scienziato ha proposto il seguente problema:
C'è una sequenza infinita di alberi finiti. Kruskal ha dimostrato che esiste sempre una sezione di un grafo, che è sia una parte di un grafo più grande che la sua copia esatta. Questa affermazione non solleva alcun dubbio, poiché è ovvio che ci sarà sempre una combinazione esattamente ripetuta all'infinito
Successivamente, Harvey Friedman ha in qualche modo ristretto questo problema considerando solo tali grafici aciclici (alberi) che per uno particolare con coefficiente i ci sono al massimo (i + k) vertici. Decise di scoprire quale dovrebbe essere il numero di grafi aciclici, in modo che con questo metodo del loro compito sarebbe sempre possibile trovare un sottoalbero che sarebbe incorporato in un altro albero.
Come risultato della ricerca su questo problema, è stato scoperto che N, a seconda di k, cresce a una velocità tremenda. In particolare, se k=1, allora N=3. Tuttavia, a k=2, N arriva già a 11. La cosa più interessante inizia quando k=3. In questo caso, N "decolla" rapidamente e raggiunge un valore che è molte volte maggiore del numero di Graham. Per immaginare quanto sia grande, basta scrivere il numero calcolato da Ronald Graham sotto forma di G64 (3). Quindi il valore di Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), sarà dell'ordine di G(G(187196)). In altre parole, si ottiene un megavalore infinitamente più grandeun numero di Graham inimmaginabilmente grande. Allo stesso tempo, anche sarà inferiore all'infinito di un numero gigantesco di volte. Ha senso parlare di questo concetto in modo più dettagliato.
Infinito
Ora che abbiamo spiegato qual è il numero di Graham sulle dita, dovremmo capire il significato che è stato e viene investito in questo concetto filosofico. Dopotutto, "infinito" e "un numero infinitamente grande" possono essere considerati identici in un determinato contesto.
Il maggior contributo allo studio di questo problema è stato dato da Aristotele. Il grande pensatore dell'antichità divideva l'infinito in potenziale e attuale. Con quest'ultimo intendeva la re altà dell'esistenza di cose infinite.
Secondo Aristotele, le fonti di idee su questo concetto fondamentale sono:
- tempo;
- separazione dei valori;
- il concetto di confine e l'esistenza di qualcosa al di là di esso;
- l'inesauribilità della natura creativa;
- pensare che non ha limiti.
Nella moderna interpretazione dell'infinito, non è possibile specificare una misura quantitativa, quindi la ricerca del numero più grande può continuare all'infinito.
Conclusione
La metafora "Guarda nell'infinito" e il numero di Graham possono essere considerati in qualche modo sinonimi? Piuttosto sì e no. Entrambi sono impossibili da immaginare, anche con la più forte immaginazione. Tuttavia, come già accennato, non può essere considerato "il più, il più". Un' altra cosa è che al momento i valori maggiori del numero di Graham non hanno un dato consolidatosenso fisico.
Inoltre, non ha le proprietà di un numero infinito, come:
- ∞ + 1=∞;
- c'è un numero infinito di numeri pari e dispari;
- ∞ - 1=∞;
- il numero di numeri dispari è esattamente la metà di tutti i numeri;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Riassumendo: il numero di Graham è il numero più grande nella pratica della dimostrazione matematica, secondo il Guinness dei primati. Tuttavia, ci sono numeri che sono molte volte maggiori di questo valore.
Molto probabilmente, in futuro ci sarà bisogno di "giganti" ancora più grandi, specialmente se una persona va oltre il nostro sistema solare o inventa qualcosa di inimmaginabile al livello attuale della nostra coscienza.
