Fisica e matematica non possono fare a meno del concetto di "quantità vettoriale". Deve essere conosciuto e riconosciuto, oltre ad essere in grado di operare con esso. Dovresti assolutamente impararlo per non confonderti e non fare errori stupidi.
Come distinguere un valore scalare da una quantità vettoriale?
Il primo ha sempre una sola caratteristica. Questo è il suo valore numerico. La maggior parte degli scalari può assumere valori sia positivi che negativi. Esempi sono la carica elettrica, il lavoro o la temperatura. Ma ci sono scalari che non possono essere negativi, come la lunghezza e la massa.
Una grandezza vettoriale, oltre ad una grandezza numerica, che viene sempre assunta modulo, è caratterizzata anche da una direzione. Pertanto, può essere rappresentato graficamente, cioè sotto forma di una freccia, la cui lunghezza è uguale al modulo del valore diretto in una certa direzione.
Durante la scrittura, ogni quantità di vettore è indicata da un segno di freccia sulla lettera. Se stiamo parlando di un valore numerico, allora la freccia non viene scritta o viene presa modulo.
Quali sono le azioni più comunemente eseguite con i vettori?
Prima, un confronto. Possono o non possono essere uguali. Nel primo caso, i loro moduli sono gli stessi. Ma questa non è l'unica condizione. Devono anche avere le stesse direzioni o opposte. Nel primo caso dovrebbero essere chiamati vettori uguali. Nella seconda, sono opposti. Se almeno una delle condizioni specificate non è soddisfatta, i vettori non sono uguali.
Poi arriva l'aggiunta. Può essere fatto secondo due regole: un triangolo o un parallelogramma. Il primo prescrive di posticipare il primo vettore, poi dal suo termine il secondo. Il risultato dell'addizione sarà quello da estrarre dall'inizio della prima alla fine della seconda.
La regola del parallelogramma può essere utilizzata quando è necessario aggiungere quantità vettoriali in fisica. A differenza della prima regola, qui dovrebbero essere posticipati da un punto all' altro. Quindi costruirli a parallelogramma. Il risultato dell'azione è da considerarsi la diagonale del parallelogramma tracciata dallo stesso punto.
Se una quantità vettoriale viene sottratta da un' altra, vengono nuovamente tracciate da un punto. Solo il risultato sarà un vettore che corrisponde a quello dalla fine del secondo alla fine del primo.
Quali vettori vengono studiati in fisica?
Ci sono tanti quanti sono gli scalari. Puoi semplicemente ricordare quali quantità vettoriali esistono in fisica. Oppure conosci i segni con cui possono essere calcolati. Per coloro che preferiscono la prima opzione, un tavolo del genere tornerà utile. Contiene le principali grandezze fisiche vettoriali.
| Designazione nella formula | Nome |
| v | velocità |
| r | sposta |
| a | accelerazione |
| Fa | forza |
| r | impulso |
| MI | intensità del campo elettrico |
| B | induzione magnetica |
| M | momento di forza |
Ora un po' di più su alcune di queste quantità.
Il primo valore è velocità
Vale la pena iniziare a fornire esempi di quantità vettoriali da esso. Ciò è dovuto al fatto che è studiato tra i primi.
La velocità è definita come una caratteristica del movimento di un corpo nello spazio. Specifica un valore numerico e una direzione. Pertanto, la velocità è una quantità vettoriale. Inoltre, è consuetudine dividerlo in tipi. Il primo è la velocità lineare. Viene introdotto quando si considera il moto rettilineo uniforme. Allo stesso tempo, risulta essere uguale al rapporto tra il percorso percorso dal corpo e il tempo del movimento.
La stessa formula può essere utilizzata per i movimenti irregolari. Solo allora sarà nella media. Inoltre, l'intervallo di tempo da scegliere deve essere necessariamente il più breve possibile. Quando l'intervallo di tempo tende a zero, il valore della velocità è già istantaneo.
Se si considera un movimento arbitrario, qui la velocità è sempre una grandezza vettoriale. Dopotutto, deve essere scomposto in componenti dirette lungo ciascun vettore che dirige le linee di coordinate. Inoltre è definita come la derivata del vettore raggio, preso rispetto al tempo.
Il secondo valore è forza
Determina la misura dell'intensità dell'impatto che viene esercitato sul corpo da altri corpi o campi. Poiché la forza è una quantità vettoriale, ha necessariamente un proprio valore modulo e direzione. Poiché agisce sul corpo, è importante anche il punto in cui viene applicata la forza. Per avere un'idea visiva dei vettori di forza, puoi fare riferimento alla tabella seguente.
| Potenza | Punto di applicazione | Direzione |
| gravità | centro del corpo | al centro della Terra |
| gravità | centro del corpo | al centro di un altro corpo |
| elasticità | punto di contatto tra corpi interagenti | contro l'influenza esterna |
| attrito | tra superfici che si toccano | nella direzione opposta al movimento |
Inoltre, la forza risultante è anche una quantità vettoriale. È definito come la somma di tutte le forze meccaniche che agiscono sul corpo. Per determinarlo, è necessario eseguire l'addizione secondo il principio della regola del triangolo. Solo tu devi posticipare i vettori a turno dalla fine del precedente. Il risultato sarà quello che collega l'inizio del primo alla fine dell'ultimo.
Terzo valore - spostamento
Durante il movimento, il corpo descrive una certa linea. Si chiama traiettoria. Questa linea può essere completamente diversa. Più importante non è il suo aspetto, ma i punti di inizio e fine del movimento. Si connettonosegmento, che prende il nome di spostamento. Anche questa è una quantità vettoriale. Inoltre, è sempre diretto dall'inizio del movimento al punto in cui il movimento è stato interrotto. È consuetudine designarlo con la lettera latina r.
Qui potrebbe apparire la domanda: "Il percorso è una quantità vettoriale?". In generale, questa affermazione non è vera. Il percorso è uguale alla lunghezza della traiettoria e non ha una direzione definita. Un'eccezione è la situazione in cui si considera il movimento rettilineo in una direzione. Quindi il modulo del vettore di spostamento coincide in valore con il percorso e la loro direzione risulta essere la stessa. Pertanto, quando si considera il movimento lungo una retta senza cambiare la direzione del movimento, il percorso può essere incluso negli esempi di grandezze vettoriali.
Il quarto valore è l'accelerazione
È una caratteristica del tasso di cambio di velocità. Inoltre, l'accelerazione può avere valori sia positivi che negativi. Nel moto rettilineo, è diretto nella direzione di una velocità maggiore. Se il movimento avviene lungo una traiettoria curvilinea, il suo vettore di accelerazione si scompone in due componenti, una delle quali è diretta verso il centro di curvatura lungo il raggio.
Separa il valore medio e istantaneo dell'accelerazione. Il primo dovrebbe essere calcolato come il rapporto tra la variazione di velocità in un certo periodo di tempo e questo tempo. Quando l'intervallo di tempo considerato tende a zero si parla di accelerazione istantanea.
La quinta magnitudine è la quantità di moto
È diversochiamato anche slancio. La quantità di moto è una quantità vettoriale dovuta al fatto che è direttamente correlata alla velocità e alla forza applicate al corpo. Entrambi hanno una direzione e la danno allo slancio.
Per definizione, quest'ultimo è uguale al prodotto della massa corporea e della velocità. Utilizzando il concetto di quantità di moto di un corpo, si può scrivere la nota legge di Newton in un modo diverso. Si scopre che la variazione della quantità di moto è uguale al prodotto di forza e tempo.
In fisica, la legge di conservazione della quantità di moto gioca un ruolo importante, la quale afferma che in un sistema chiuso di corpi la sua quantità di moto totale è costante.
Abbiamo elencato molto brevemente quali quantità (vettoriali) vengono studiate nel corso della fisica.
Problema di impatto anelastico
Condizione. C'è una piattaforma fissa sui binari. Un'auto si sta avvicinando ad una velocità di 4 m/s. Le masse della piattaforma e del carro sono rispettivamente di 10 e 40 tonnellate. L'auto colpisce la piattaforma, si verifica un aggancio automatico. È necessario calcolare la velocità del sistema carro-piattaforma dopo l'impatto.
Decisione. Innanzitutto, è necessario inserire la notazione: la velocità dell'auto prima dell'impatto - v1, l'auto con la piattaforma dopo l'aggancio - v, il peso dell'auto m 1, la piattaforma - m 2. A seconda della condizione del problema, è necessario scoprire il valore della velocità v.
Le regole per risolvere tali compiti richiedono una rappresentazione schematica del sistema prima e dopo l'interazione. È ragionevole dirigere l'asse OX lungo i binari nella direzione in cui si sta muovendo l'auto.
In queste condizioni il sistema dei carri si può considerare chiuso. Ciò è determinato dal fatto che esternole forze possono essere trascurate. La forza di gravità e la reazione del supporto sono bilanciate e l'attrito sulle rotaie non viene preso in considerazione.
Secondo la legge di conservazione della quantità di moto, la loro somma dei vettori prima dell'interazione dell'auto e della piattaforma è uguale al totale dell'accoppiatore dopo l'impatto. All'inizio, la piattaforma non si muoveva, quindi il suo slancio era zero. Solo l'auto si è mossa, il suo slancio è il prodotto di m1 e v1.
Poiché l'impatto è stato anelastico, cioè il carro si è agganciato alla piattaforma, e poi ha iniziato a rotolare insieme nella stessa direzione, la quantità di moto del sistema non ha cambiato direzione. Ma il suo significato è cambiato. Ovvero il prodotto della somma della massa del carro con la piattaforma e la velocità richiesta.
Puoi scrivere questa uguaglianza: m1v1=(m1 + m2)v. Sarà vero per la proiezione di vettori di quantità di moto sull'asse selezionato. Da esso è facile ricavare l'uguaglianza che sarà necessaria per calcolare la velocità richiesta: v=m1v1 / (m 1 + m2).
Secondo le regole, dovresti convertire i valori di massa da tonnellate a chilogrammi. Pertanto, quando li sostituisci nella formula, devi prima moltiplicare i valori noti per mille. Semplici calcoli danno il numero 0,75 m/s.
Risposta. La velocità del carro con la piattaforma è di 0,75 m/s.
Problema con la divisione del corpo in parti
Condizione. La velocità di una granata volante è di 20 m/s. Si rompe in due pezzi. La massa del primo è di 1,8 kg. Continua a muoversi nella direzione in cui volava la granata a una velocità di 50 m/s. Il secondo frammento ha una massa di 1,2 kg. Qual è la sua velocità?
Decisione. Siano indicate le masse del frammento con le lettere m1 e m2. Le loro velocità saranno rispettivamente v1 e v2. La velocità iniziale della granata è v. Nel problema, devi calcolare il valore v2.
Affinché il frammento più grande continui a muoversi nella stessa direzione dell'intera granata, il secondo deve volare nella direzione opposta. Se scegliamo la direzione dell'asse come quella dell'impulso iniziale, dopo la rottura, un grande frammento vola lungo l'asse e un piccolo frammento vola contro l'asse.
In questo problema, è consentito utilizzare la legge di conservazione della quantità di moto poiché l'esplosione di una granata avviene istantaneamente. Pertanto, nonostante il fatto che la gravità agisca sulla granata e sulle sue parti, non ha il tempo di agire e cambiare la direzione del vettore di quantità di moto con il suo valore modulo.
La somma dei valori vettoriali dello slancio dopo lo scoppio della granata è uguale a quello precedente. Se scriviamo la legge di conservazione della quantità di moto del corpo in proiezione sull'asse OX, allora apparirà così: (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. È facile esprimere la velocità desiderata da esso. È determinato dalla formula: v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2. Dopo la sostituzione dei valori numerici e dei calcoli, si ottiene 25 m/s.
Risposta. La velocità di un piccolo frammento è di 25 m/s.
Problema con le riprese ad angolo
Condizione. Uno strumento è montato su una piattaforma di massa M. Da esso viene sparato un proiettile di massa m. Vola fuori con un angolo α aorizzonte con velocità v (data relativa al suolo). È necessario scoprire il valore della velocità della piattaforma dopo lo sparo.
Decisione. In questo problema, puoi usare la legge di conservazione della quantità di moto in proiezione sull'asse OX. Ma solo nel caso in cui la proiezione delle forze esterne risultanti sia uguale a zero.
Per la direzione dell'asse OX, devi scegliere il lato in cui volerà il proiettile e parallelo alla linea orizzontale. In questo caso le proiezioni delle forze di gravità e la reazione del supporto su OX saranno pari a zero.
Il problema verrà risolto in modo generale, poiché non ci sono dati specifici per quantità note. La risposta è la formula.
La quantità di moto del sistema prima dello sparo era pari a zero, poiché la piattaforma e il proiettile erano fermi. Sia indicata la velocità desiderata della piattaforma con la lettera latina u. Quindi la sua quantità di moto dopo lo sparo è determinata come il prodotto della massa e la proiezione della velocità. Poiché la piattaforma torna indietro (contro la direzione dell'asse OX), il valore della quantità di moto sarà meno.
La quantità di moto di un proiettile è il prodotto della sua massa per la proiezione della sua velocità sull'asse OX. A causa del fatto che la velocità è diretta ad un angolo rispetto all'orizzonte, la sua proiezione è uguale alla velocità moltiplicata per il coseno dell'angolo. In uguaglianza letterale, apparirà così: 0=- Mu + mvcos α. Da esso, per semplici trasformazioni, si ottiene la formula di risposta: u=(mvcos α) / M.
Risposta. La velocità della piattaforma è determinata dalla formula u=(mvcos α) / M.
Problema di attraversamento del fiume
Condizione. La larghezza del fiume per tutta la sua lunghezza è la stessa e uguale a l, le sue spondesono paralleli. Conosciamo la velocità del flusso d'acqua nel fiume v1 e la velocità propria della barca v2. uno). Durante l'attraversamento, la prua della barca è diretta rigorosamente verso la sponda opposta. Quanto lontano sarà portato a valle? 2). A quale angolo α deve essere diretta la prua della barca in modo che raggiunga la sponda opposta rigorosamente perpendicolare al punto di partenza? Quanto tempo ci vorrebbe per fare una tale traversata?
Decisione. uno). La velocità massima della barca è la somma vettoriale delle due grandezze. Il primo di questi è il corso del fiume, che è diretto lungo le sponde. La seconda è la velocità propria della barca, perpendicolare alle sponde. Il disegno mostra due triangoli simili. Il primo è formato dalla larghezza del fiume e dalla distanza che trasporta la barca. Il secondo - con vettori di velocità.
Da loro segue la seguente voce: s / l=v1 / v2. Dopo la trasformazione si ottiene la formula per il valore desiderato: s=l(v1 / v2).
2). In questa versione del problema, il vettore della velocità totale è perpendicolare alle sponde. È uguale alla somma vettoriale di v1 e v2. Il seno dell'angolo di cui deve deviare il proprio vettore di velocità è uguale al rapporto dei moduli v1 e v2. Per calcolare il tempo di percorrenza, dovrai dividere la larghezza del fiume per la velocità totale calcolata. Il valore di quest'ultimo è calcolato utilizzando il teorema di Pitagora.
v=√(v22 – v1 2), quindi t=l / (√(v22 – v1 2)).
Risposta. uno). s=l(v1 / v2), 2). peccato α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
