Alle scuole medie e superiori gli studenti hanno studiato l'argomento "Frazioni". Tuttavia, questo concetto è molto più ampio di quanto indicato nel processo di apprendimento. Oggi il concetto di frazione ricorre abbastanza spesso e non tutti possono calcolare alcuna espressione, ad esempio moltiplicando le frazioni.
Cos'è una frazione?
Storicamente è successo che i numeri frazionari apparissero a causa della necessità di misurare. Come mostra la pratica, ci sono spesso esempi per determinare la lunghezza di un segmento, il volume di un parallelepipedo rettangolare, l'area di un rettangolo.
Inizialmente, gli studenti vengono introdotti al concetto di condivisione. Ad esempio, se dividi un'anguria in 8 parti, ciascuna riceverà un ottavo di anguria. Questa parte di otto è chiamata condivisione.
Una quota pari a ½ di qualsiasi valore si chiama metà; ⅓ - terzo; ¼ - un quarto. Voci come 5/8, 4/5, 2/4 sono chiamate frazioni comuni. Una frazione comune è divisa innumeratore e denominatore. Tra di loro c'è una linea frazionaria, o linea frazionaria. Una barra frazionaria può essere disegnata come una linea orizzontale o obliqua. In questo caso, sta per il segno di divisione.
Il denominatore rappresenta in quante parti uguali il valore in cui è diviso l'oggetto; e il numeratore è quante parti uguali vengono prese. Il numeratore è scritto sopra la barra frazionaria, il denominatore è scritto sotto di essa.
È più conveniente mostrare le frazioni ordinarie sul raggio delle coordinate. Se un singolo segmento è diviso in 4 parti uguali, ogni parte è designata con una lettera latina, quindi puoi ottenere un eccellente aiuto visivo. Quindi, il punto A mostra una quota pari a 1/4 dell'intero segmento unitario e il punto B indica 2/8 da questo segmento.
Varietà di frazioni
Le frazioni sono numeri ordinari, decimali e anche misti. Inoltre, le frazioni possono essere suddivise in proprie e improprie. Questa classificazione è più adatta per le frazioni comuni.
Una frazione propria è un numero il cui numeratore è minore del denominatore. Di conseguenza, una frazione impropria è un numero il cui numeratore è maggiore del denominatore. Il secondo tipo è solitamente scritto come un numero misto. Tale espressione consiste in una parte intera e una parte frazionaria. Ad esempio, 1½. 1 - parte intera, ½ - frazionario. Tuttavia, se è necessario eseguire alcune manipolazioni con l'espressione (dividere o moltiplicare frazioni, ridurle o convertirle), il numero misto viene tradotto infrazione impropria.
Un'espressione frazionaria corretta è sempre minore di uno e un'espressione errata è sempre maggiore o uguale a 1.
Come per le frazioni decimali, questa espressione è intesa come un record in cui è rappresentato un numero qualsiasi, il cui denominatore dell'espressione frazionaria può essere espresso attraverso uno con più zeri. Se la frazione è corretta, la parte intera nella notazione decimale sarà zero.
Per scrivere un decimale, devi prima scrivere la parte intera, separarla dalla frazione con una virgola, quindi scrivere l'espressione frazionaria. Si ricorda che dopo la virgola il numeratore deve contenere tanti caratteri numerici quanti sono gli zeri al denominatore.
Esempio. Rappresenta la frazione 721/1000 in notazione decimale.
Algoritmo per convertire una frazione impropria in un numero misto e viceversa
Non è corretto scrivere una frazione impropria nella risposta del problema, quindi deve essere convertito in un numero misto:
- dividi il numeratore per il denominatore disponibile;
- in un esempio specifico, il quoziente incompleto è un intero;
- e il resto è il numeratore della parte frazionaria e il denominatore rimane invariato.
Esempio. Converti la frazione impropria in un numero misto: 47/5.
Decisione. 47: 5. Il quoziente parziale è 9, resto=2. Quindi 47/5 =92/5.
A volte devi rappresentare un numero misto come una frazione impropria. Quindi devi usareseguente algoritmo:
- la parte intera viene moltiplicata per il denominatore dell'espressione frazionaria;
- il prodotto risultante viene aggiunto al numeratore;
- il risultato viene scritto al numeratore, il denominatore rimane invariato.
Esempio. Esprimi un numero misto come una frazione impropria: 98/10.
Decisione. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 è il numeratore.
Risposta: 98/10.
Moltiplicazione delle frazioni comuni
Diverse operazioni algebriche possono essere eseguite su frazioni ordinarie. Per moltiplicare due numeri, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Inoltre, la moltiplicazione delle frazioni con denominatori diversi non differisce dal prodotto di numeri frazionari con gli stessi denominatori.
Succede che dopo aver trovato il risultato, devi ridurre la frazione. È imperativo semplificare il più possibile l'espressione risultante. Naturalmente, non si può dire che una frazione impropria nella risposta sia un errore, ma è anche difficile chiamarla risposta corretta.
Esempio. Trova il prodotto di due frazioni comuni: ½ e 20/18.
Come puoi vedere dall'esempio, dopo aver trovato il prodotto, otteniamo una notazione frazionaria ridotta. Sia il numeratore che il denominatore in questo caso sono divisibili per 4 e il risultato è la risposta 5/9.
Moltiplicazione delle frazioni decimali
Opera d'artefrazioni decimali è abbastanza diverso dal prodotto delle frazioni ordinarie nel suo principio. Quindi, moltiplicare le frazioni è il seguente:
- due frazioni decimali devono essere scritte una sotto l' altra in modo che le cifre più a destra siano una sotto l' altra;
- è necessario moltiplicare i numeri scritti, nonostante le virgole, cioè come numeri naturali;
- calcola il numero di cifre dopo la virgola in ciascuno dei numeri;
- nel risultato ottenuto dopo la moltiplicazione, devi contare tanti caratteri numerici sulla destra quanti sono contenuti nella somma di entrambi i fattori dopo la virgola, e mettere un segno di separazione;
- se ci sono meno cifre nel prodotto, allora devi scrivere tanti zeri davanti a loro per coprire questo numero, mettere una virgola e assegnare una parte intera uguale a zero.
Esempio. Calcola il prodotto di due decimali: 2, 25 e 3, 6.
Decisione.
Moltiplicazione di frazioni miste
Per calcolare il prodotto di due frazioni miste, devi usare la regola per moltiplicare le frazioni:
- converte numeri misti in frazioni improprie;
- trova il prodotto dei numeratori;
- trova il prodotto dei denominatori;
- scrivi il risultato;
- semplificare il più possibile l'espressione.
Esempio. Trova il prodotto di 4½ e 62/5.
Moltiplicare un numero per una frazione(frazioni per numero)
Oltre a trovare il prodotto di due frazioni, numeri misti, ci sono compiti in cui devi moltiplicare un numero naturale per una frazione.
Quindi, per trovare il prodotto di una frazione decimale e di un numero naturale, devi:
- scrivi il numero sotto la frazione in modo che le cifre più a destra siano una sopra l' altra;
- trova prodotto nonostante la virgola;
- nel risultato, separa la parte intera dalla parte frazionaria usando una virgola, contando a destra il numero di caratteri che si trova dopo il punto decimale nella frazione.
Per moltiplicare una frazione ordinaria per un numero, dovresti trovare il prodotto del numeratore e del fattore naturale. Se la risposta è una frazione ridotta, dovrebbe essere convertita.
Esempio. Calcola il prodotto di 5/8 e 12.
Decisione. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
Risposta: 71/2.
Come puoi vedere dall'esempio precedente, era necessario ridurre il risultato risultante e convertire l'espressione frazionaria errata in un numero misto.
Inoltre, la moltiplicazione delle frazioni vale anche per trovare il prodotto di un numero in forma mista e un fattore naturale. Per moltiplicare questi due numeri, devi moltiplicare la parte intera del fattore misto per il numero, moltiplicare il numeratore per lo stesso valore e lasciare invariato il denominatore. Se necessario, semplifica il più possibile il risultato.
Esempio. Trovareil prodotto di 95/6 e 9.
Decisione. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
Risposta: 881/2.
Moltiplica per i fattori 10, 100, 1000 o 0, 1; 0,01; 0, 001
La seguente regola segue dal paragrafo precedente. Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1000, 10000, ecc., devi spostare la virgola a destra di tante cifre quanti sono gli zeri nel moltiplicatore dopo uno.
Esempio 1. Trova il prodotto di 0, 065 e 1000.
Decisione. 0,065 x 1000=0065=65.
Risposta: 65.
Esempio 2. Trova il prodotto di 3, 9 e 1000.
Decisione. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.
Risposta: 3900.
Se devi moltiplicare un numero naturale per 0, 1; 0,01; 0,001; 0, 0001, ecc., dovresti spostare la virgola a sinistra nel prodotto risultante di tante cifre quanti sono gli zeri prima di uno. Se necessario, prima del numero naturale viene scritto un numero sufficiente di zeri.
Esempio 1. Trova il prodotto di 56 e 0, 01.
Decisione. 56 x 0,01=0056=0,56.
Risposta: 0, 56.
Esempio 2. Trova il prodotto di 4 e 0, 001.
Decisione. 4 x 0,001=0004=0,004.
Risposta: 0, 004.
Quindi, trovare il prodotto di varie frazioni non dovrebbe essere difficile, tranne forse il calcolo del risultato; in questo caso, semplicemente non puoi fare a meno di una calcolatrice.
