Il calcolo dei volumi delle figure spaziali è uno dei compiti importanti della stereometria. In questo articolo, considereremo la questione della determinazione del volume di un tale poliedro come una piramide e forniremo anche la formula per il volume di una piramide esagonale regolare.
piramide esagonale
Per prima cosa, diamo un'occhiata a qual è la cifra, che sarà discussa nell'articolo.
Dobbiamo avere un esagono arbitrario i cui lati non sono necessariamente uguali tra loro. Supponiamo inoltre di aver scelto un punto nello spazio che non è nel piano dell'esagono. Collegando tutti gli angoli di quest'ultimo con il punto selezionato, otteniamo una piramide. Nella figura sottostante sono mostrate due diverse piramidi a base esagonale.
Si può vedere che oltre all'esagono, la figura è composta da sei triangoli, il cui punto di connessione è chiamato vertice. La differenza tra le piramidi raffigurate è che l' altezza h della loro destra non interseca la base esagonale nel suo centro geometrico e l' altezza della figura di sinistra cadeproprio in quel centro. Grazie a questo criterio, la piramide sinistra è stata chiamata diritta e la destra - obliqua.
Poiché la base della figura di sinistra nella figura è formata da un esagono con lati e angoli uguali, si dice corretta. Più avanti nell'articolo parleremo solo di questa piramide.
Volume della piramide esagonale
Per calcolare il volume di una piramide arbitraria, vale la seguente formula:
V=1/3hSo
Qui h è la lunghezza dell' altezza della figura, So è l'area della sua base. Usiamo questa espressione per determinare il volume di una piramide esagonale regolare.
Poiché la figura in esame è basata su un esagono equilatero, per calcolarne l'area, puoi utilizzare la seguente espressione generale per un n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Qui n è un numero intero uguale al numero di lati (angoli) del poligono, a è la lunghezza del suo lato, la funzione cotangente è calcolata utilizzando le apposite tabelle.
Applicando l'espressione per n=6, otteniamo:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Ora non resta che sostituire questa espressione nella formula generale del volume V:
V6=S6h=√3/2ha2
Quindi, per calcolare il volume della piramide in esame, è necessario conoscerne i due parametri lineari: la lunghezza del lato della base e l' altezza della figura.
Esempio di risoluzione dei problemi
Mostriamo come l'espressione ottenuta per V6 può essere utilizzata per risolvere il seguente problema.
È noto che il volume di una piramide esagonale regolare è di 100 cm3. È necessario determinare il lato della base e l' altezza della figura, se è noto che sono correlati tra loro dalla seguente uguaglianza:
a=2h
Poiché solo a e h sono inclusi nella formula per il volume, ognuno di questi parametri può essere sostituito in essa, espresso in termini dell' altro. Ad esempio, sostituendo a, otteniamo:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Per trovare il valore dell' altezza di una figura, devi prendere la radice del terzo grado dal volume, che corrisponde alla dimensione della lunghezza. Sostituiamo il valore del volume V6 della piramide dall'istruzione del problema, otteniamo l' altezza:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3.0676 cm
Poiché il lato della base, in base alla condizione del problema, è il doppio del valore trovato, otteniamo il valore per esso:
a=2a=23, 0676=6, 1352cm
Il volume di una piramide esagonale si trova non solo attraverso l' altezza della figura e il valore del lato della sua base. Basta conoscere due diversi parametri lineari della piramide per calcolarla, ad esempio l'apotema e la lunghezza del bordo laterale.
