Piramide esagonale regolare. Formule per volume e superficie. Soluzione di un problema geometrico

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

La stereometria, come branca della geometria nello spazio, studia le proprietà di prismi, cilindri, coni, sfere, piramidi e altre figure tridimensionali. Questo articolo è dedicato a una revisione dettagliata delle caratteristiche e delle proprietà di una piramide regolare esagonale.

Quale piramide verrà studiata

Una piramide esagonale regolare è una figura nello spazio, che è limitata da un esagono equilatero ed equiangolare e da sei triangoli isoscele identici. Questi triangoli possono anche essere equilateri in determinate condizioni. Questa piramide è mostrata sotto.

Qui è mostrata la stessa figura, solo in un caso è girata con la sua faccia laterale verso il lettore, e nell' altro - con il suo bordo laterale.

Una piramide esagonale regolare ha 7 facce, che sono state menzionate sopra. Ha anche 7 vertici e 12 bordi. A differenza dei prismi, tutte le piramidi hanno un vertice speciale, che è formato dall'intersezione del lateraletriangoli. Per una piramide regolare, svolge un ruolo importante, poiché la perpendicolare abbassata da essa alla base della figura è l' altezza. Inoltre, l' altezza sarà indicata dalla lettera h.

La piramide mostrata è chiamata corretta per due motivi:

• alla sua base c'è un esagono con lati uguali a e angoli uguali di 120o;
• L' altezza della piramide h interseca l'esagono esattamente al suo centro (il punto di intersezione si trova alla stessa distanza da tutti i lati e da tutti i vertici dell'esagono).

Superficie

Le proprietà di una piramide esagonale regolare saranno considerate dalla definizione della sua area. Per fare ciò, è prima utile dispiegare la figura su un piano. Di seguito è mostrata una rappresentazione schematica.

Si può vedere che l'area dello sweep, e quindi l'intera superficie della figura in esame, è uguale alla somma delle aree di sei triangoli identici e di un esagono.

Per determinare l'area di un esagono S_{6, usa la formula universale per un n-gon regolare:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Dove a è la lunghezza del lato dell'esagono.

L'area di un triangolo S₃ del lato laterale può essere trovata se conosci il valore della sua altezza h_b:

S₃=1/2h_ba.

Perché tutti e seii triangoli sono uguali tra loro, quindi otteniamo un'espressione di lavoro per determinare l'area di una piramide esagonale con la base corretta:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Volume della piramide

Proprio come l'area, il volume di una piramide regolare esagonale è la sua proprietà importante. Questo volume è calcolato dalla formula generale per tutte le piramidi e i coni. Scriviamolo:

V=1/3S_oh.

Qui, il simbolo S_o è l'area della base esagonale, ovvero S_o=S _6.

Sostituendo l'espressione precedente per S_{6 nella formula per V, arriviamo all'uguaglianza finale per determinare il volume di una piramide esagonale regolare:}

V=√3/2a2h.

Un esempio di problema geometrico

In una piramide esagonale regolare, il bordo laterale è lungo il doppio del lato di base. Sapendo che quest'ultimo è di 7 cm, è necessario calcolare la superficie e il volume di questa figura.

Come puoi intuire, la soluzione di questo problema prevede l'uso delle espressioni ottenute sopra per S e V. Tuttavia, non sarà possibile usarle subito, poiché non conosciamo l'apotema e il altezza di una piramide esagonale regolare. Calcoliamoli.

L'apotema h_b può essere determinato considerando un triangolo rettangolo costruito sui lati b, a/2 e h_{b. Qui b è la lunghezza del bordo laterale. Usando la condizione del problema, otteniamo:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

L' altezza h della piramide può essere determinata esattamente allo stesso modo di un apotema, ma ora dovremmo considerare un triangolo di lati h, b e a, situato all'interno della piramide. L' altezza sarà:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Si può vedere che il valore dell' altezza calcolato è inferiore a quello dell'apotema, il che vale per qualsiasi piramide.

Ora puoi usare le espressioni per volume e area:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Quindi, per determinare inequivocabilmente qualsiasi caratteristica di una piramide esagonale regolare, devi conoscere due dei suoi parametri lineari.