È impossibile affermare di conoscere la matematica se non sai come tracciare grafici, disegnare disuguaglianze su una linea di coordinate e lavorare con gli assi delle coordinate. La componente visiva nella scienza è vitale, perché senza esempi visivi nelle formule e nei calcoli, a volte puoi essere molto confuso. In questo articolo vedremo come lavorare con gli assi delle coordinate e impareremo a costruire semplici grafici di funzioni.
Applicazione
La linea di coordinate è alla base dei più semplici tipi di grafici che uno studente incontra nel suo percorso formativo. Viene utilizzato in quasi tutti gli argomenti matematici: quando si calcola la velocità e il tempo, si proiettano le dimensioni degli oggetti e si calcola la loro area, in trigonometria quando si lavora con seno e coseno.
Il valore principale di una tale linea diretta è la visibilità. Poiché la matematica è una scienza che richiede un alto livello di pensiero astratto, i grafici aiutano a rappresentare un oggetto nel mondo reale. Come si comporta? A che punto nello spazio sarà ilpochi secondi, minuti, ore? Cosa si può dire a riguardo rispetto ad altri oggetti? Qual è la sua velocità in un momento selezionato casualmente? Come caratterizzare il suo movimento?
E stiamo parlando di velocità per una ragione: è spesso visualizzata dai grafici delle funzioni. E possono anche visualizzare i cambiamenti di temperatura o pressione all'interno dell'oggetto, le sue dimensioni, l'orientamento rispetto all'orizzonte. Pertanto, la costruzione di una linea di coordinate è spesso richiesta anche in fisica.
Grafico unidimensionale
C'è un concetto di multidimensionalità. Nello spazio unidimensionale basta un solo numero per determinare la posizione di un punto. Questo è esattamente il caso dell'uso della linea delle coordinate. Se lo spazio è bidimensionale, sono necessari due numeri. I grafici di questo tipo vengono utilizzati molto più spesso e li considereremo sicuramente un po' più avanti nell'articolo.
Cosa si può vedere con l'aiuto dei punti sull'asse, se c'è un solo asse? Puoi vedere la dimensione dell'oggetto, la sua posizione nello spazio rispetto a qualche "zero", cioè il punto scelto come punto di riferimento.
La modifica dei parametri nel tempo non sarà visibile, poiché tutte le letture verranno visualizzate per un momento particolare. Tuttavia, devi iniziare da qualche parte! Quindi iniziamo.
Come costruire un asse di coordinate
Per prima cosa, devi disegnare una linea orizzontale: questo sarà il nostro asse. Sul lato destro, "affilalo" in modo che assomigli a una freccia. Pertanto, indicheremo la direzione in cui saranno i numeriaumentare. Nella direzione verso il basso, la freccia di solito non è posizionata. Tradizionalmente, l'asse punta a destra, quindi seguiremo semplicemente questa regola.
Impostiamo un segno di zero, che mostrerà l'origine delle coordinate. Questo è il punto esatto da cui viene preso il conto alla rovescia, che si tratti di dimensioni, peso, velocità o qualsiasi altra cosa. Oltre a zero, dobbiamo necessariamente designare il cosiddetto prezzo di divisione, cioè introdurre uno standard unitario, in base al quale tracciare determinate quantità sull'asse. Questo deve essere fatto per poter trovare la lunghezza del segmento sulla linea delle coordinate.
A una distanza uguale l'uno dall' altro, metti dei punti o delle "tacche" sulla linea e sotto di essi scrivi rispettivamente 1, 2, 3 e così via. E ora, tutto è pronto. Ma con il programma risultante, devi ancora imparare a lavorare.
Tipi di punti sulla linea delle coordinate
Dalla prima occhiata ai disegni proposti nei libri di testo, diventa chiaro: i punti sull'asse possono essere riempiti o meno. Credi sia una coincidenza? Affatto! Un punto "solido" viene utilizzato per una disuguaglianza non rigida, che si legge come "maggiore o uguale a". Se dobbiamo limitare rigorosamente l'intervallo (ad esempio, "x" può assumere valori da zero a uno, ma non lo include), utilizzeremo un punto "vuoto", ovvero un piccolo cerchio sull'asse. Va notato che agli studenti non piacciono molto le disuguaglianze rigorose, perché è più difficile lavorare con loro.
A seconda di cosa puntiutilizzare sul grafico, verranno chiamati anche gli intervalli costruiti. Se la disuguaglianza su entrambi i lati non è rigorosa, otteniamo un segmento. Se da un lato risulta essere "aperto", verrà chiamato mezzo intervallo. Infine, se una parte di una linea è delimitata su entrambi i lati da punti cavi, sarà chiamata intervallo.
Aereo
Quando si costruiscono due rette sul piano delle coordinate, possiamo già considerare i grafici delle funzioni. Diciamo che la linea orizzontale è l'asse del tempo e la linea verticale è la distanza. E ora siamo in grado di determinare quale distanza supererà l'oggetto in un minuto o un'ora di viaggio. Pertanto, lavorare con un piano consente di monitorare il cambiamento nello stato di un oggetto. Questo è molto più interessante che esplorare uno stato statico.
Il grafico più semplice su un tale piano è una retta, riflette la funzione Y(X)=aX + b. La linea si piega? Ciò significa che l'oggetto cambia le sue caratteristiche durante lo studio.
Immagina di essere in piedi sul tetto di un edificio con una pietra nella tua mano tesa. Quando lo rilasci, volerà giù, iniziando il suo movimento da velocità zero. Ma in un secondo supererà i 36 chilometri orari. La pietra continuerà ad accelerare ulteriormente e, per tracciare il suo movimento sulla carta, dovrai misurare la sua velocità in diversi punti nel tempo impostando i punti sull'asse nei punti appropriati.
I segni sulla linea delle coordinate orizzontali per impostazione predefinita sono denominati X1, X2, X3 e sulla verticale - Y1, Y2, Y3, rispettivamente. proiettanteloro sul piano e trovando le intersezioni, troviamo frammenti del modello risultante. Collegandoli con una linea, otteniamo un grafico della funzione. Nel caso di una pietra che cade, la funzione quadratica sarà simile a: Y(X)=aXX + bX + c.
Scala
Naturalmente, non è necessario mettere valori interi accanto alle divisioni con una linea retta. Se stai considerando il movimento di una lumaca che striscia a una velocità di 0,03 metri al minuto, imposta come valori sulla frazione di coordinate. In questo caso, impostare l'intervallo della scala su 0,01 metri.
È particolarmente conveniente eseguire tali disegni su un quaderno in una gabbia: qui puoi vedere immediatamente se c'è abbastanza spazio sul foglio per il tuo grafico, se vai oltre i margini. Non è difficile calcolare la tua forza, perché la larghezza della cella in un tale quaderno è di 0,5 centimetri. Ci sono voluti - ridotto l'immagine. I cambiamenti nella scala del grafico non gli causeranno la perdita o la modifica delle proprietà.
Coordinate di punti e segmenti
Quando un problema di matematica viene fornito in una lezione, può contenere i parametri di varie forme geometriche, sia sotto forma di lunghezze laterali, perimetro, area, sia sotto forma di coordinate. In questo caso, potrebbe essere necessario creare una forma e ottenere alcuni dati ad essa associati. Sorge la domanda: come trovare le informazioni richieste sulla linea delle coordinate? E come costruire una forma?
Per esempio, stiamo parlando di un punto. Quindi apparirà una lettera maiuscola nella condizione del problema e tra parentesi appariranno diversi numeri, molto spesso due (questo significa che conteremo nello spazio bidimensionale). Se ci sono tre numeri tra parentesi, separati da un punto e virgola o da una virgola, allora questo è uno spazio tridimensionale. Ciascuno dei valori è una coordinata sull'asse corrispondente: prima lungo l'orizzontale (X), poi lungo la verticale (Y).
Ricordi come disegnare un segmento? L'hai passato sulla geometria. Se ci sono due punti, è possibile tracciare una linea tra di loro. Le loro coordinate sono indicate tra parentesi se nel problema compare un segmento. Ad esempio: A(15, 13) - B(1, 4). Per costruire una linea del genere, devi trovare e contrassegnare i punti sul piano delle coordinate, quindi collegarli. Ecco fatto!
E tutti i poligoni, come sai, possono essere disegnati usando i segmenti. Problema risolto.
Calcoli
Diciamo che c'è un oggetto la cui posizione lungo l'asse X è caratterizzata da due numeri: inizia nel punto con coordinata (-3) e finisce in (+2). Se vogliamo conoscere la lunghezza di questo oggetto, dobbiamo sottrarre il numero più piccolo dal numero più grande. Nota che un numero negativo assorbe il segno della sottrazione, perché "un meno per un meno è uguale a un più". Quindi aggiungiamo (2+3) e otteniamo 5. Questo è il risultato richiesto.
Un altro esempio: ci viene dato il punto finale e la lunghezza dell'oggetto, ma non il punto iniziale (e dobbiamo trovarlo). Sia la posizione del punto noto (6) e la dimensione dell'oggetto in studio sia (4). Sottraendo la lunghezza dalla coordinata finale, otteniamo la risposta. Totale: (6 - 4)=2.
Numeri negativi
In pratica è spesso richiesto di lavorare con valori negativi. In questo caso lo faremospostarsi a sinistra lungo l'asse delle coordinate. Ad esempio, un oggetto alto 3 centimetri galleggia nell'acqua. Un terzo è immerso nel liquido, due terzi nell'aria. Quindi, scegliendo come asse la superficie dell'acqua, otteniamo due numeri utilizzando i calcoli aritmetici più semplici: il punto superiore dell'oggetto ha la coordinata (+2) e quello inferiore - (-1) centimetro.
È facile vedere che nel caso di un piano abbiamo quattro quarti della linea delle coordinate. Ognuno di loro ha il suo numero. Nella prima parte (in alto a destra) ci saranno punti con due coordinate positive, nella seconda - in alto a sinistra - i valori dell'asse X saranno negativi e lungo l'asse Y - positivi. Il terzo e il quarto vengono contati ulteriormente in senso antiorario.
Importante proprietà
Sai che una linea può essere rappresentata come un numero infinito di punti. Possiamo visualizzare con la stessa attenzione che vogliamo un numero qualsiasi di valori in ciascuna direzione dell'asse, ma non incontreremo quelli ripetuti. Sembra ingenuo e comprensibile, ma questa affermazione deriva da un fatto importante: ogni numero corrisponde a uno e solo un punto sulla linea delle coordinate.
Conclusione
Ricorda che tutti gli assi, le figure e, se possibile, i grafici devono essere costruiti su un righello. Le unità di misura non sono state inventate dall'uomo per caso: se commetti un errore durante il disegno, corri il rischio di vedere un'immagine diversa da quella che avrebbe dovuto essere.
Sii attento e preciso nella tracciatura e nei calcoli. Come ogni scienza studiata a scuola, la matematica ama la precisione. Fai un piccolo sforzo e benele valutazioni non tarderanno ad arrivare.
