La geometria è una branca della matematica che studia le strutture nello spazio e le relazioni tra di esse. A sua volta, si compone anche di sezioni e una di queste è la stereometria. Prevede lo studio delle proprietà delle figure volumetriche poste nello spazio: un cubo, una piramide, una palla, un cono, un cilindro, ecc.
Un cono è un corpo nello spazio euclideo che delimita una superficie conica e un piano su cui giacciono le estremità dei suoi generatori. La sua formazione avviene nel processo di rotazione di un triangolo rettangolo attorno a una qualsiasi delle sue gambe, quindi appartiene ai corpi di rivoluzione.
Componenti del cono
Si distinguono i seguenti tipi di coni: obliqui (o obliqui) e diritti. Obliquo è quello il cui asse si interseca con il centro della sua base non ad angolo retto. Per questo motivo, l' altezza in un tale cono non coincide con l'asse, poiché è un segmento che si abbassa dalla sommità del corpo al suo pianobase a 90°.
Quel cono, il cui asse è perpendicolare alla sua base, è chiamato cono diritto. L'asse e l' altezza in un tale corpo geometrico coincidono a causa del fatto che il vertice in esso si trova sopra il centro del diametro di base.
Il cono è composto dai seguenti elementi:
- Il cerchio che ne è la base.
- Lato.
- Un punto non giacente nel piano della base, chiamato cima del cono.
- Segmenti che collegano i punti del cerchio della base del corpo geometrico e la sua sommità.
Tutti questi segmenti sono generatrici del cono. Sono inclinati alla base del corpo geometrico, e nel caso di un cono retto le loro sporgenze sono uguali, poiché il vertice è equidistante dai punti del cerchio di base. Possiamo quindi concludere che in un cono regolare (diritto) i generatori sono uguali, cioè hanno la stessa lunghezza e formano gli stessi angoli con l'asse (o altezza) e la base.
Poiché in un corpo di rivoluzione obliquo (o inclinato) il vertice è spostato rispetto al centro del piano di base, i generatori in tale corpo hanno lunghezze e proiezioni diverse, poiché ciascuno di essi si trova a una distanza diversa da due punti qualsiasi del cerchio di base. Inoltre, anche gli angoli tra loro e l' altezza del cono saranno diversi.
La lunghezza dei generatori in un cono destro
Come scritto in precedenza, l' altezza in un corpo geometrico rettilineo di rivoluzione è perpendicolare al piano della base. Pertanto, la generatrice, l' altezza e il raggio della base creano un triangolo rettangolo nel cono.
Ovvero, conoscendo il raggio della base e l' altezza, usando la formula del teorema di Pitagora, puoi calcolare la lunghezza della generatrice, che sarà uguale alla somma dei quadrati del raggio della base e altezza:
l2 =r2+ h2 o l=√r 2 + h2
dove l è una generatrice;
r – raggio;
h – altezza.
Generativo in un cono obliquo
In base al fatto che in un cono obliquo o obliquo i generatori non sono della stessa lunghezza, non sarà possibile calcolarli senza ulteriori costruzioni e calcoli.
Prima di tutto, devi conoscere l' altezza, la lunghezza dell'asse e il raggio della base.
Avendo questi dati, puoi calcolare la parte di raggio compresa tra l'asse e l' altezza, usando la formula del teorema di Pitagora:
r1=√k2 - h2
dove r1 è la parte del raggio tra l'asse e l' altezza;
k – lunghezza dell'asse;
h – altezza.
Come risultato della somma del raggio (r) e della sua parte compresa tra l'asse e l' altezza (r1), puoi scoprire l'intero lato di destra triangolo formato dalla generatrice del cono, la sua parte di altezza e diametro:
R=r + r1
dove R è la gamba del triangolo formato dall' altezza, generatrice e parte del diametro della base;
r – raggio base;
r1 – parte del raggio tra l'asse e l' altezza.
Usando la stessa formula del teorema di Pitagora, puoi trovare la lunghezza della generatrice del cono:
l=√h2+ R2
oppure, senza calcolare R separatamente, combina le due formule in una:
l=√h2 + (r + r1)2.
Nonostante sia un cono diritto o obliquo e che tipo di dati di input, tutti i metodi per trovare la lunghezza della generatrice si riducono sempre a un risultato: l'uso del teorema di Pitagora.
Sezione cono
La sezione assiale di un cono è un piano che passa lungo il suo asse o altezza. In un cono retto, tale sezione è un triangolo isoscele, in cui l' altezza del triangolo è l' altezza del corpo, i suoi lati sono i generatori e la base è il diametro della base. In un corpo geometrico equilatero, la sezione assiale è un triangolo equilatero, poiché in questo cono il diametro della base e dei generatori sono uguali.
Il piano della sezione assiale in un cono rettilineo è il piano della sua simmetria. La ragione di ciò è che la sua sommità è al di sopra del centro della sua base, cioè il piano della sezione assiale divide il cono in due parti identiche.
Poiché l' altezza e l'asse non corrispondono in un solido inclinato, il piano della sezione assiale potrebbe non includere l' altezza. Se è possibile costruire un insieme di sezioni assiali in un tale cono, poiché per questo deve essere rispettata solo una condizione: deve passare solo attraverso l'asse, quindi solo una sezione assiale del piano, che apparterrà all' altezza di questo cono, può essere disegnato, perché il numero delle condizioni aumenta, e, come è noto, due linee (insieme) possono appartenere asolo un aereo.
Area della sezione
La sezione assiale del cono menzionata in precedenza è un triangolo. Sulla base di ciò, la sua area può essere calcolata usando la formula per l'area di un triangolo:
S=1/2gh o S=1/22rh
dove S è l'area della sezione trasversale;
d – diametro base;
r – raggio;
h – altezza.
In un cono obliquo, o obliquo, anche la sezione lungo l'asse è un triangolo, quindi l'area della sezione trasversale al suo interno viene calcolata in modo simile.
Volume
Dato che un cono è una figura tridimensionale nello spazio tridimensionale, possiamo calcolarne il volume. Il volume di un cono è un numero che caratterizza questo corpo in un'unità di volume, cioè in m3. Il calcolo non dipende dal fatto che sia diritto o obliquo (obliquo), poiché le formule per questi due tipi di corpi non differiscono.
Come affermato in precedenza, la formazione di un cono retto avviene a causa della rotazione di un triangolo rettangolo lungo una delle sue gambe. Un cono inclinato o obliquo si forma in modo diverso, poiché la sua altezza è spostata dal centro del piano di base del corpo. Tuttavia, tali differenze nella struttura non influiscono sul metodo di calcolo del volume.
Calcolo del volume
La formula per il volume di qualsiasi cono è simile a questa:
V=1/3πhr2
dove V è il volume del cono;
h – altezza;
r – raggio;
π - costante uguale a 3, 14.
Per calcolare il volume di un cono, devi avere dati sull' altezza e sul raggio della base del corpo.
Per calcolare l' altezza di un corpo, devi conoscere il raggio della base e la lunghezza della sua generatrice. Poiché il raggio, l' altezza e la generatrice sono combinati in un triangolo rettangolo, l' altezza può essere calcolata utilizzando la formula del teorema di Pitagora (a2+ b2=c 2 o nel nostro caso h2+ r2=l2 , dove l - generatrice). In questo caso, l' altezza sarà calcolata estraendo la radice quadrata della differenza tra i quadrati dell'ipotenusa e l' altra gamba:
a=√c2- b2
Ovvero l' altezza del cono sarà uguale al valore ottenuto dopo aver estratto la radice quadrata dalla differenza tra il quadrato della lunghezza della generatrice e il quadrato del raggio della base:
h=√l2 - r2
Calcolando l' altezza usando questo metodo e conoscendo il raggio della sua base, puoi calcolare il volume del cono. In questo caso, la generatrice gioca un ruolo importante, poiché funge da elemento ausiliario nei calcoli.
Allo stesso modo, se conosci l' altezza del corpo e la lunghezza della sua generatrice, puoi trovare il raggio della sua base estraendo la radice quadrata della differenza tra il quadrato della generatrice e il quadrato dell' altezza:
r=√l2 - h2
Poi, usando la stessa formula di cui sopra, calcola il volume del cono.
Volume del cono inclinato
Poiché la formula per il volume di un cono è la stessa per tutti i tipi di corpo di rivoluzione, la differenza nel suo calcolo è la ricerca dell' altezza.
Per conoscere l' altezza di un cono inclinato, i dati di input devono comprendere la lunghezza della generatrice, il raggio della base e la distanza tra il centrobase e l'intersezione dell' altezza del corpo con il piano della sua base. Sapendo questo, puoi facilmente calcolare quella parte del diametro della base, che sarà la base di un triangolo rettangolo (formato dall' altezza, dalla generatrice e dal piano della base). Quindi, sempre usando il teorema di Pitagora, calcola l' altezza del cono, e successivamente il suo volume.
