Una delle figure che si verificano quando si risolvono problemi geometrici nello spazio è un cono. Esso, a differenza dei poliedri, appartiene alla classe delle figure di rotazione. Consideriamo nell'articolo cosa si intende con esso in geometria ed esploriamo le caratteristiche delle varie sezioni del cono.
Cono in geometria
Supponiamo che ci sia una curva sull'aereo. Può essere una parabola, un cerchio, un'ellisse e così via. Prendi un punto che non appartiene al piano specificato e collega ad esso tutti i punti della curva. La superficie risultante è chiamata cono o semplicemente cono.
Se la curva originale è chiusa, la superficie conica può essere riempita di materia. La figura così ottenuta è un corpo tridimensionale. Viene anche chiamato cono. Di seguito sono mostrati diversi coni di carta.
La superficie conica si trova nella vita di tutti i giorni. Ad esempio, un cono gelato o un cono stradale a strisce ha questa forma, progettata per attirare l'attenzione di conducenti epedoni.
Tipi di coni
Come puoi intuire, le figure in esame differiscono tra loro per il tipo di curva su cui sono formate. Ad esempio, c'è un cono rotondo o uno ellittico. Questa curva è chiamata base della figura. Tuttavia, la forma della base non è l'unica caratteristica che consente la classificazione dei coni.
La seconda caratteristica importante è la posizione dell' altezza rispetto alla base. L' altezza di un cono è un segmento di linea retta, che è abbassato dalla sommità della figura al piano della base ed è perpendicolare a questo piano. Se l' altezza interseca la base nel centro geometrico (ad esempio, al centro del cerchio), il cono sarà dritto, se il segmento perpendicolare cade in qualsiasi altro punto della base o oltre, la figura sarà obliquo.
Più avanti nell'articolo considereremo solo un cono dritto rotondo come un rappresentante luminoso della classe di figure considerata.
Nomi geometrici degli elementi conici
È stato detto sopra che il cono ha una base. È delimitato da un cerchio, che è chiamato la guida del cono. I segmenti che collegano la guida ad un punto che non giace nel piano della base sono detti generatori. L'insieme di tutti i punti dei generatori è chiamato superficie conica o laterale della figura. Per un cono destro rotondo, tutti i generatori hanno la stessa lunghezza.
Il punto in cui i generatori si intersecano è chiamato la parte superiore della figura. A differenza dei poliedri, un cono ha un solo vertice e nbordo.
Una retta passante per la parte superiore della figura e il centro del cerchio è chiamata asse. L'asse contiene l' altezza di un cono rettilineo, quindi forma un angolo retto con il piano della base. Questa informazione è importante quando si calcola l'area della sezione assiale del cono.
Cono diritto tondo - cifra di rotazione
Il cono considerato è una figura abbastanza simmetrica, che si ottiene per effetto della rotazione del triangolo. Supponiamo di avere un triangolo con un angolo retto. Per ottenere un cono, è sufficiente ruotare questo triangolo attorno a una delle gambe come mostrato nella figura seguente.
Si può vedere che l'asse di rotazione è l'asse del cono. Una delle gambe sarà uguale all' altezza della figura e la seconda gamba diventerà il raggio della base. L'ipotenusa di un triangolo come risultato della rotazione descriverà una superficie conica. Sarà la generatrice del cono.
Questo metodo per ottenere un cono tondo rettilineo è conveniente da utilizzare per studiare la relazione matematica tra i parametri lineari della figura: l' altezza h, il raggio della base tonda r e la guida g. La formula corrispondente segue dalle proprietà di un triangolo rettangolo. È elencato di seguito:
g2=h2+ r2.
Poiché abbiamo un'equazione e tre variabili, ciò significa che per impostare in modo univoco i parametri di un cono rotondo, devi conoscere due quantità qualsiasi.
Sezioni di un cono di un piano che non contiene il vertice della figura
La questione della costruzione di sezioni di una figura non lo èbanale. Il fatto è che la forma della sezione del cono rispetto alla superficie dipende dalla posizione relativa della figura e della secante.
Supponiamo di intersecare il cono con un piano. Quale sarà il risultato di questa operazione geometrica? Le opzioni della forma della sezione sono mostrate nella figura seguente.
La sezione rosa è un cerchio. È formato dall'intersezione della figura con un piano parallelo alla base del cono. Queste sono sezioni perpendicolari all'asse della figura. La figura formata sopra il piano di taglio è un cono simile all'originale, ma con un cerchio più piccolo alla base.
La sezione verde è un'ellisse. Si ottiene se il piano di taglio non è parallelo alla base, ma interseca solo la superficie laterale del cono. Una figura tagliata sopra il piano è chiamata cono obliquo ellittico.
Le sezioni blu e arancione sono rispettivamente paraboliche e iperboliche. Come si vede dalla figura, si ottengono se il piano di taglio interseca contemporaneamente la superficie laterale e la base della figura.
Per determinare le aree delle sezioni del cono che sono state considerate, è necessario utilizzare le formule per la figura corrispondente sul piano. Ad esempio, per un cerchio, questo è il numero Pi moltiplicato per il quadrato del raggio, e per un'ellisse, questo è il prodotto di Pi e la lunghezza dei semiassi minore e maggiore:
cerchio: S=pir2;
ellisse: S=piab.
Sezioni contenenti la parte superiore del cono
Ora considera le opzioni per le sezioni che si presentano se il piano di taglio lo èpassare attraverso la parte superiore del cono. Sono possibili tre casi:
- La sezione è un punto singolo. Ad esempio, un piano passante per il vertice e parallelo alla base fornisce proprio una tale sezione.
- La sezione è una linea retta. Questa situazione si verifica quando il piano è tangente a una superficie conica. La retta della sezione in questo caso sarà la generatrice del cono.
- Sezione assiale. Si forma quando il piano contiene non solo la parte superiore della figura, ma anche l'intero asse. In questo caso, il piano sarà perpendicolare alla base rotonda e dividerà il cono in due parti uguali.
Ovviamente, le aree dei primi due tipi di sezioni sono pari a zero. Per quanto riguarda l'area della sezione trasversale del cono per il 3° tipo, questo problema è discusso in modo più dettagliato nel paragrafo successivo.
Sezione assiale
Si è notato sopra che la sezione assiale di un cono è la figura formata quando il cono è intersecato da un piano passante per il suo asse. È facile intuire che questa sezione rappresenterà la figura mostrata nella figura seguente.
Questo è un triangolo isoscele. Il vertice della sezione assiale del cono è il vertice di questo triangolo, formato dall'intersezione di lati identici. Questi ultimi sono uguali alla lunghezza della generatrice del cono. La base del triangolo è il diametro della base del cono.
Calcolare l'area della sezione assiale di un cono si riduce a trovare l'area del triangolo risultante. Se inizialmente si conosce il raggio della base r e l' altezza h del cono, allora l'area S della sezione in esame sarà:
S=hr.
Questol'espressione è una conseguenza dell'applicazione della formula standard per l'area di un triangolo (metà prodotto dell' altezza per la base).
Nota che se la generatrice di un cono è uguale al diametro della sua base rotonda, allora la sezione assiale del cono è un triangolo equilatero.
Si forma una sezione triangolare quando il piano di taglio è perpendicolare alla base del cono e passa per il suo asse. Qualsiasi altro piano parallelo a quello nominato darà un'iperbole in sezione. Tuttavia, se il piano contiene il vertice del cono e ne interseca la base non attraverso il diametro, anche la sezione risultante sarà un triangolo isoscele.
Il problema della determinazione dei parametri lineari del cono
Mostriamo come utilizzare la formula scritta per l'area della sezione assiale per risolvere un problema geometrico.
È noto che l'area della sezione assiale del cono è di 100 cm2. Il triangolo risultante è equilatero. Qual è l' altezza del cono e il raggio della sua base?
Poiché il triangolo è equilatero, la sua altezza h è correlata alla lunghezza del lato a come segue:
h=√3/2a.
Dato che il lato del triangolo è il doppio del raggio della base del cono, e sostituendo questa espressione nella formula dell'area della sezione trasversale, otteniamo:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Allora l' altezza del cono è:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Resta da sostituire il valore dell'area dalla condizione del problemae ottieni la risposta:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
In quali aree è importante conoscere i parametri delle sezioni considerate?
Lo studio di vari tipi di sezioni di cono non è solo di interesse teorico, ma ha anche applicazioni pratiche.
In primo luogo, va notato l'area dell'aerodinamica, dove con l'aiuto di sezioni coniche è possibile creare forme lisce ideali di corpi solidi.
In secondo luogo, le sezioni coniche sono traiettorie lungo le quali gli oggetti spaziali si muovono nei campi gravitazionali. Quale specifico tipo di sezione rappresenta la traiettoria del movimento dei corpi cosmici del sistema è determinato dal rapporto tra le loro masse, le velocità assolute e le distanze tra di loro.
