Derivazione della formula per l'area di un cono. Esempio di soluzione del problema

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 05:31

Lo studio delle proprietà delle figure spaziali gioca un ruolo importante nella risoluzione di problemi pratici. La scienza che si occupa delle figure nello spazio si chiama stereometria. In questo articolo, dal punto di vista della geometria solida, considereremo un cono e mostreremo come trovare l'area di un cono.

Cono con base tonda

Nel caso generale, un cono è una superficie costruita su una curva piana, i cui punti sono tutti collegati da segmenti con un punto nello spazio. Quest'ultimo è chiamato l'apice del cono.

Dalla definizione di cui sopra, è chiaro che una curva può avere una forma arbitraria, come parabolica, iperbolica, ellittica e così via. Tuttavia, nella pratica e nei problemi di geometria, è spesso un cono rotondo che si incontra spesso. È mostrato nell'immagine qui sotto.

Qui il simbolo r denota il raggio del cerchio situato alla base della figura, h è la perpendicolare al piano del cerchio, che è disegnato dalla parte superiore della figura. Si chiama altezza. Il valore s è la generatrice del cono, o la sua generatrice.

Si può vedere che i segmenti r, he sformare un triangolo rettangolo. Se viene ruotato attorno alla gamba h, l'ipotenusa s descriverà la superficie conica e la gamba r forma la base rotonda della figura. Per questo motivo il cono è considerato una figura di rivoluzione. I tre parametri lineari denominati sono interconnessi dall'uguaglianza:

s²=r²+ h²

Nota che l'uguaglianza data è valida solo per un cono dritto rotondo. Una figura retta è solo se la sua altezza cade esattamente al centro del cerchio di base. Se questa condizione non è soddisfatta, la figura è chiamata obliqua. La differenza tra coni diritti e obliqui è mostrata nella figura seguente.

Sviluppo della forma

Lo studio della superficie di un cono è conveniente da effettuare, considerandolo in piano. Questo modo di rappresentare la superficie delle figure nello spazio è chiamato loro sviluppo. Per un cono, questo sviluppo può essere ottenuto come segue: devi prendere una figura fatta, ad esempio, di carta. Quindi, con le forbici, ritaglia la base rotonda attorno alla circonferenza. Dopodiché, lungo la generatrice, fai un taglio della superficie conica e trasformala in un piano. Il risultato di queste semplici operazioni sarà lo sviluppo del cono, mostrato nella figura sottostante.

Come puoi vedere, la superficie di un cono può infatti essere rappresentata su un piano. Si compone delle seguenti due parti:

• cerchio di raggio r che rappresenta la base della figura;
• settore circolare di raggio g, che è una superficie conica.

La formula per l'area di un cono prevede la ricerca delle aree di entrambe le superfici spiegate.

Calcola la superficie di una figura

Dividiamo il compito in due fasi. Per prima cosa troviamo l'area della base del cono, quindi l'area della superficie conica.

La prima parte del problema è facile da risolvere. Poiché è dato il raggio r, è sufficiente richiamare l'espressione corrispondente per l'area di un cerchio per calcolare l'area della base. Scriviamolo:

S_o=pi × r²

Se il raggio non è noto, dovresti prima trovarlo usando la formula di relazione tra esso, l' altezza e il generatore.

La seconda parte del problema di trovare l'area di un cono è un po' più complicata. Si noti che il settore circolare è costruito sul raggio g della generatrice ed è delimitato da un arco la cui lunghezza è uguale alla circonferenza del cerchio. Questo fatto ti consente di annotare la proporzione e trovare l'angolo del settore considerato. Indichiamolo con la lettera greca φ. Questo angolo sarà uguale a:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Conoscendo l'angolo centrale φ di un settore circolare, puoi usare la proporzione appropriata per trovarne l'area. Indichiamolo con il simbolo S_b. Sarà uguale a:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Ovvero, l'area della superficie conica corrisponde al prodotto della generatrice g, del raggio della base r e del numero Pi.

Sapere quali sono le aree di entrambiconsiderate le superfici, possiamo scrivere la formula finale per l'area di un cono:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

L'espressione scritta presuppone la conoscenza di due parametri lineari del cono per calcolare S. Se g o r sono sconosciuti, possono essere trovati attraverso l' altezza h.

Il problema del calcolo dell'area di un cono

È noto che l' altezza di un cono tondo diritto è uguale al suo diametro. È necessario calcolare l'area della figura, sapendo che l'area della sua base è 50 cm².

Conoscendo l'area di un cerchio, puoi trovare il raggio della figura. Abbiamo:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Ora troviamo il generatore g in termini di h e r. A seconda della condizione, l' altezza h della figura è uguale a due raggi r, quindi:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Le formule trovate per ge r dovrebbero essere sostituite nell'espressione per l'intera area del cono. Otteniamo:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Nell'espressione risultante sostituiamo l'area della base S_o e scriviamo la risposta: S ≈ 161,8 cm².