Per molte persone, l'analisi matematica è solo un insieme di numeri, icone e definizioni incomprensibili che sono lontani dalla vita reale. Tuttavia, il mondo in cui esistiamo è costruito su schemi numerici, la cui identificazione aiuta non solo a conoscere il mondo che ci circonda e a risolverne i complessi problemi, ma anche a semplificare le attività pratiche quotidiane. Cosa intende un matematico quando dice che una sequenza numerica converge? Questo dovrebbe essere discusso in modo più dettagliato.
Cos'è un infinitesimo?
Immaginiamo delle bambole matrioske che si incastrano l'una nell' altra. Le loro dimensioni, scritte sotto forma di numeri, che iniziano con il più grande e terminano con il più piccolo, formano una sequenza. Se immagini un numero infinito di figure così luminose, la riga risultante sarà straordinariamente lunga. Questa è una sequenza numerica convergente. E tende a zero, dal momento che le dimensioni di ogni successiva bambola che nidifica, diminuendo catastroficamente, si trasforma gradualmente nel nulla. Quindi è facilesi può spiegare: cos'è infinitesimale.
Un esempio simile potrebbe essere una strada che porta in lontananza. E le dimensioni visive dell'auto che si allontana dall'osservatore lungo di essa, rimpicciolendosi gradualmente, si trasformano in un puntino informe che ricorda un punto. Così, la macchina, come un oggetto, che si allontana in una direzione sconosciuta, diventa infinitamente piccola. I parametri del corpo specificato non saranno mai zero nel senso letterale della parola, ma tenderanno invariabilmente a questo valore nel limite finale. Pertanto, questa sequenza converge nuovamente a zero.
Calcola tutto goccia a goccia
Immaginiamo ora una situazione mondana. Il medico ha prescritto al paziente di assumere il medicinale, iniziando con dieci gocce al giorno e aggiungendone due ogni giorno successivo. E così il medico ha suggerito di continuare fino all'esaurimento del contenuto della fiala di medicinale, il cui volume è di 190 gocce. Ne consegue che il numero di tali, programmato per giorno, sarà la seguente serie numerica: 10, 12, 14 e così via.
Come scoprire il tempo per completare l'intero corso e il numero dei membri della sequenza? Qui, ovviamente, si possono contare le gocce in modo primitivo. Ma è molto più semplice, dato lo schema, usare la formula per la somma di una progressione aritmetica con un passo d=2. E usando questo metodo, scopri che il numero di membri della serie numerica è 10. In questo caso, a10=28. Il numero del pene indica il numero di giorni di assunzione del medicinale e 28 corrisponde al numero di gocce che il paziente deve assumereutilizzare l'ultimo giorno. Questa sequenza converge? No, perché nonostante sia limitata a 10 dal basso e 28 dall' alto, una tale serie numerica non ha limiti, a differenza degli esempi precedenti.
Qual è la differenza?
Proviamo ora a fare chiarezza: quando la serie numerica risulta essere una sequenza convergente. Una definizione di questo tipo, come si può concludere da quanto sopra, è direttamente correlata al concetto di limite finito, la cui presenza rivela l'essenza della questione. Quindi qual è la differenza fondamentale tra gli esempi forniti in precedenza? E perché nell'ultimo di essi il numero 28 non può essere considerato il limite della serie numerica X =10 + 2(n-1)?
Per chiarire questa domanda, considera un' altra sequenza data dalla formula seguente, dove n appartiene all'insieme dei numeri naturali.
Questa comunità di membri è un insieme di frazioni comuni, il cui numeratore è 1, e il denominatore è in costante aumento: 1, ½ …
Inoltre, ogni rappresentante successivo di questa serie si avvicina sempre di più a 0 in termini di posizione sulla linea dei numeri, e questo significa che un tale quartiere appare dove i punti si raggruppano attorno a zero, che è il limite. E più sono vicini ad esso, più densa diventa la loro concentrazione sulla linea dei numeri. E la distanza tra loro si riduce catastroficamente, trasformandosi in una distanza infinitesimale. Questo è un segno che la sequenza sta convergendo.
SimilePertanto, i rettangoli multicolori mostrati in figura, allontanandosi nello spazio, risultano visivamente più affollati, nell'ipotetico limite divenendo trascurabile.
Sequenze infinitamente grandi
Dopo aver analizzato la definizione di sequenza convergente, passiamo ai controesempi. Molti di loro sono stati conosciuti dall'uomo fin dai tempi antichi. Le varianti più semplici delle successioni divergenti sono le serie di numeri naturali e pari. Sono chiamati infinitamente grandi in modo diverso, poiché i loro membri, in costante aumento, si avvicinano sempre più all'infinito positivo.
Un esempio può essere anche una qualsiasi delle progressioni aritmetiche e geometriche con passo e denominatore, rispettivamente, maggiori di zero. Inoltre, le serie numeriche sono considerate sequenze divergenti, che non hanno alcun limite. Ad esempio, X =(-2) -1.
Sequenza di Fibonacci
I vantaggi pratici delle serie numeriche menzionate in precedenza per l'umanità sono innegabili. Ma ci sono innumerevoli altri grandi esempi. Uno di questi è la sequenza di Fibonacci. Ciascuno dei suoi membri, che iniziano con uno, è la somma dei precedenti. I suoi primi due rappresentanti sono 1 e 1. Il terzo 1+1=2, il quarto 1+2=3, il quinto 2+3=5. Inoltre, secondo la stessa logica, seguono i numeri 8, 13, 21 e così via.
Questa serie di numeri aumenta indefinitamente e non halimite finale. Ma ha un' altra meravigliosa proprietà. Il rapporto tra ogni numero precedente e quello successivo è sempre più vicino nel suo valore a 0,618. Qui puoi capire la differenza tra una sequenza convergente e divergente, perché se fai una serie di divisioni parziali ricevute, il sistema numerico indicato avere un limite finito pari a 0.618.
Sequenza dei rapporti di Fibonacci
La serie numerica sopra indicata è ampiamente utilizzata a fini pratici per l'analisi tecnica dei mercati. Ma questo non si limita alle sue capacità, che egizi e greci conoscevano e seppero mettere in pratica nell'antichità. Ciò è dimostrato dalle piramidi che costruirono e dal Partenone. Dopotutto, il numero 0,618 è un coefficiente costante della sezione aurea, ben noto ai vecchi tempi. Secondo questa regola, qualsiasi segmento arbitrario può essere diviso in modo che il rapporto tra le sue parti coincida con il rapporto tra il più grande dei segmenti e la lunghezza totale.
Costruiamo una serie delle relazioni indicate e proviamo ad analizzare questa sequenza. La serie numerica sarà la seguente: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 e così via. Proseguendo in questo modo, possiamo assicurarci che il limite della successione convergente sarà effettivamente 0,618. Tuttavia, è necessario notare altre proprietà di questa regolarità. Qui i numeri sembrano andare casualmente, e per niente in ordine crescente o decrescente. Ciò significa che questa sequenza convergente non è monotona. Perché è così sarà discusso ulteriormente.
Monotonia e limitazione
I membri delle serie numeriche possono chiaramente diminuire con l'aumentare del numero (se x1>x2>x3>…>x >…) o crescente (se x1<x2<x3<…<x <…). In questo caso, la sequenza si dice strettamente monotona. Si possono anche osservare altri modelli, in cui la serie numerica sarà non decrescente e non crescente (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… o x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), allora anche quello successivamente convergente è monotono, solo non in senso stretto. Un buon esempio della prima di queste opzioni è la serie numerica data dalla seguente formula.
Dopo aver dipinto i numeri di questa serie, puoi vedere che nessuno dei suoi membri, avvicinandosi indefinitamente a 1, non supererà mai questo valore. In questo caso, la successione convergente si dice limitata. Ciò accade ogni volta che esiste un tale numero positivo M, che è sempre maggiore di qualsiasi termine della serie modulo. Se una serie numerica ha segni di monotonia e ha un limite, e quindi converge, allora è necessariamente dotata di tale proprietà. E non deve essere vero il contrario. Ciò è evidenziato dal teorema di limitatezza per una successione convergente.
L'applicazione pratica di tali osservazioni è molto utile. Facciamo un esempio specifico esaminando le proprietà della successione X =n/n+1 e dimostrarne la convergenza. È facile dimostrare che è monotono, poiché (x +1 – x) è un numero positivo per ogni n valori. Il limite della successione è uguale al numero 1, il che significa che tutte le condizioni del teorema di cui sopra, detto anche teorema di Weierstrass, sono soddisfatte. Il teorema sulla limitatezza di una successione convergente afferma che se ha un limite, allora risulta comunque limitata. Tuttavia, prendiamo il seguente esempio. La serie numerica X =(-1) è delimitata dal basso da -1 e dall' alto da 1. Ma questa sequenza non è monotona, non ha limite, e quindi non converge. Cioè, l'esistenza di un limite e di una convergenza non sempre segue da una limitazione. Affinché ciò funzioni, i limiti inferiore e superiore devono corrispondere, come nel caso dei rapporti di Fibonacci.
Numeri e leggi dell'Universo
Le varianti più semplici di una sequenza convergente e divergente sono forse le serie numeriche X =n e X =1/n. Il primo di essi è una serie naturale di numeri. È, come già accennato, infinitamente grande. La seconda sequenza convergente è limitata e i suoi termini sono di grandezza quasi infinitesimale. Ognuna di queste formule personifica uno dei lati dell'Universo sfaccettato, aiutando una persona a immaginare e calcolare qualcosa di inconoscibile, inaccessibile alla percezione limitata nel linguaggio dei numeri e dei segni.
Le leggi dell'universo, che vanno da trascurabili a incredibilmente grandi, esprimono anche il rapporto aureo di 0,618. Scienziaticredono che sia la base dell'essenza delle cose e sia usata dalla natura per formarne le parti. Le relazioni tra i membri successivi e precedenti della serie di Fibonacci, di cui abbiamo già parlato, non completano la dimostrazione delle straordinarie proprietà di questa serie unica. Se consideriamo il quoziente di divisione del termine precedente per il successivo per uno, otteniamo una serie di 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 e così via. È interessante notare che questa sequenza limitata converge, non è monotona, ma il rapporto tra i numeri vicini estremi di un determinato membro è sempre approssimativamente uguale a 0,382, che può essere utilizzato anche in architettura, analisi tecnica e altri settori.
Ci sono altri coefficienti interessanti della serie di Fibonacci, giocano tutti un ruolo speciale in natura e sono usati anche dall'uomo per scopi pratici. I matematici sono sicuri che l'Universo si sviluppi secondo una certa "spirale aurea", formata dai coefficienti indicati. Con il loro aiuto, è possibile calcolare molti fenomeni che si verificano sulla Terra e nello spazio, dalla crescita del numero di alcuni batteri al movimento di comete lontane. A quanto pare, il codice del DNA obbedisce a leggi simili.
Progressione geometrica decrescente
C'è un teorema che afferma l'unicità del limite di una successione convergente. Ciò significa che non può avere due o più limiti, cosa senza dubbio importante per trovare le sue caratteristiche matematiche.
Diamo un'occhiata ad alcunicasi. Qualsiasi serie numerica composta da membri di una progressione aritmetica è divergente, tranne il caso con passo zero. Lo stesso vale per una progressione geometrica il cui denominatore è maggiore di 1. I limiti di tali serie numeriche sono il "più" o il "meno" dell'infinito. Se il denominatore è inferiore a -1, non c'è alcun limite. Sono possibili altre opzioni.
Considera la serie numerica data dalla formula X =(1/4) -1. A prima vista, è facile vedere che questa sequenza convergente è limitata perché strettamente decrescente e in nessun modo in grado di assumere valori negativi.
Scriviamo un numero dei suoi membri di seguito.
Risulta: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 e così via. Bastano calcoli abbastanza semplici per capire quanto velocemente questa progressione geometrica decresce dai denominatori 0<q<1. Mentre il denominatore dei termini aumenta indefinitamente, essi stessi diventano infinitesimi. Ciò significa che il limite della serie numerica è 0. Questo esempio dimostra ancora una volta la natura limitata della sequenza convergente.
Sequenze fondamentali
Augustin Louis Cauchy, uno scienziato francese, ha rivelato al mondo molte opere legate all'analisi matematica. Ha dato definizioni a concetti come differenziale, integrale, limite e continuità. Ha anche studiato le proprietà di base delle successioni convergenti. Per comprendere l'essenza delle sue idee,alcuni dettagli importanti devono essere riassunti.
All'inizio dell'articolo, è stato mostrato che esistono tali sequenze per le quali esiste un quartiere in cui i punti che rappresentano i membri di una certa serie sulla linea reale iniziano a raggrupparsi, allineandosi sempre di più densamente. Allo stesso tempo, la distanza tra loro diminuisce all'aumentare del numero del rappresentante successivo, trasformandosi in un numero infinitamente piccolo. Si scopre così che in un dato quartiere sono raggruppati un numero infinito di rappresentanti di una data serie, mentre al di fuori di esso ve ne sono un numero finito. Tali sequenze sono dette fondamentali.
Il famoso criterio di Cauchy, ideato da un matematico francese, indica chiaramente che la presenza di tale proprietà è sufficiente a dimostrare che la successione converge. È vero anche il contrario.
Va notato che questa conclusione del matematico francese è per lo più di interesse puramente teorico. La sua applicazione in pratica è considerata una questione piuttosto complicata, quindi, per chiarire la convergenza delle serie, è molto più importante dimostrare l'esistenza di un limite finito per una successione. In caso contrario, è considerato divergente.
Quando si risolvono problemi, si dovrebbero anche prendere in considerazione le proprietà di base delle successioni convergenti. Sono mostrati di seguito.
Somme infinite
Scienziati famosi dell'antichità come Archimede, Euclide, Eudosso usarono le somme di serie infinite per calcolare le lunghezze delle curve, i volumi dei corpie aree di figure. In particolare, in questo modo è stato possibile scoprire l'area del segmento parabolico. Per questo è stata utilizzata la somma delle serie numeriche di una progressione geometrica con q=1/4. I volumi e le aree di altre figure arbitrarie sono stati trovati in modo simile. Questa opzione è stata chiamata il metodo di "esaurimento". L'idea era che il corpo studiato, di forma complessa, fosse suddiviso in parti, che erano figure con parametri facilmente misurabili. Per questo motivo non è stato difficile calcolare le loro aree e volumi, e poi hanno sommato.
A proposito, compiti simili sono molto familiari agli scolari moderni e si trovano nei compiti USE. Il metodo unico, trovato da lontani antenati, è di gran lunga la soluzione più semplice. Anche se ci sono solo due o tre parti in cui è divisa la cifra numerica, l'aggiunta delle loro aree è comunque la somma delle serie numeriche.
Molto più tardi degli antichi scienziati greci Leibniz e Newton, basandosi sull'esperienza dei loro saggi predecessori, impararono gli schemi del calcolo integrale. La conoscenza delle proprietà delle sequenze li ha aiutati a risolvere equazioni differenziali e algebriche. Attualmente, la teoria delle serie, creata dagli sforzi di molte generazioni di scienziati di talento, offre la possibilità di risolvere un numero enorme di problemi matematici e pratici. E lo studio delle sequenze numeriche è stato il problema principale risolto dall'analisi matematica sin dal suo inizio.
