L'area di un tronco di cono. Formula ed esempio di problema

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 05:31

Le figure di rivoluzione in geometria ricevono un'attenzione particolare nello studio delle loro caratteristiche e proprietà. Uno di questi è un tronco di cono. Questo articolo mira a rispondere alla domanda su quale formula può essere utilizzata per calcolare l'area di un tronco di cono.

Di quale cifra stiamo parlando?

Prima di descrivere l'area di un tronco di cono, è necessario dare un'esatta definizione geometrica di questa figura. Troncato è un tale cono, che si ottiene tagliando il vertice di un cono ordinario da un piano. In questa definizione vanno sottolineate alcune sfumature. Innanzitutto, il piano di sezione deve essere parallelo al piano della base del cono. In secondo luogo, la figura originale deve essere un cono circolare. Certo, può essere una figura ellittica, iperbolica e di altro tipo, ma in questo articolo ci limiteremo a considerare solo un cono circolare. Quest'ultimo è mostrato nella figura seguente.

È facile intuire che può essere ottenuto non solo con l'aiuto di una sezione di un piano, ma anche con l'aiuto di un'operazione di rotazione. PerPer fare ciò, devi prendere un trapezio che ha due angoli retti e ruotarlo attorno al lato adiacente a questi angoli retti. Di conseguenza, le basi del trapezio diventeranno i raggi delle basi del tronco di cono e il lato inclinato laterale del trapezio descriverà la superficie conica.

Sviluppo della forma

Considerando la superficie di un tronco di cono, è utile riportarne lo sviluppo, cioè l'immagine della superficie di una figura tridimensionale su un piano. Di seguito è riportata una scansione della figura studiata con parametri arbitrari.

Si può notare che l'area della figura è formata da tre componenti: due cerchi e un segmento circolare troncato. Ovviamente, per determinare l'area richiesta, è necessario sommare le aree di tutte le figure nominate. Risolviamo questo problema nel prossimo paragrafo.

Area tronco conica

Per facilitare la comprensione del seguente ragionamento, introduciamo la seguente notazione:

• r1, r2 - raggi rispettivamente delle basi grande e piccola;
• h - altezza figura;
• g - generatrice del cono (la lunghezza del lato obliquo del trapezio).

L'area delle basi di un tronco di cono è facile da calcolare. Scriviamo le espressioni corrispondenti:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

L'area di una parte di un segmento circolare è un po' più difficile da determinare. Se immaginiamo che il centro di questo settore circolare non sia ritagliato, allora il suo raggio sarà uguale al valore G. Non è difficile calcolarlo se consideriamo il corrispondentesimili triangoli di cono ad angolo retto. È uguale a:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Allora l'area dell'intero settore circolare, che è costruito su raggio G e che poggia su un arco di lunghezza 2pir₁, sarà uguale a:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Ora determiniamo l'area del piccolo settore circolare S₂, che dovrà essere sottratto da S₁. È uguale a:

S₂=pir₂(SOL - sol)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

L'area della superficie tronco conica S_bè uguale alla differenza tra S₁ e S ₂. Otteniamo:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Nonostante alcuni calcoli macchinosi, abbiamo ottenuto un'espressione abbastanza semplice per l'area della superficie laterale della figura.

Sommando le aree delle basi e S_b, arriviamo alla formula per l'area di un tronco di cono:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Quindi, per calcolare il valore di S della figura studiata, devi conoscerne i tre parametri lineari.

Esempio di problema

Cono diritto circolarecon un raggio di 10 cm e un' altezza di 15 cm è stato tagliato da un piano in modo da ottenere un tronco di cono regolare. Sapendo che la distanza tra le basi della figura troncata è di 10 cm, è necessario trovarne la superficie.

Per usare la formula per l'area di un tronco di cono, devi trovare tre dei suoi parametri. Uno che conosciamo:

r₁=10 cm.

Gli altri due sono facili da calcolare se si considerano triangoli rettangoli simili, che si ottengono come risultato della sezione assiale del cono. Tenendo conto della condizione del problema, otteniamo:

r₂=105/15=3,33 cm.

Infine, la guida del g tronco di cono sarà:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Ora puoi sostituire i valori r₁, r₂ e g nella formula per S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

La superficie desiderata della figura è di circa 852 cm².