Penso che dovremmo iniziare con la storia di uno strumento matematico così glorioso come le equazioni differenziali. Come tutti i calcoli differenziali e integrali, queste equazioni furono inventate da Newton alla fine del XVII secolo. Considerava questa sua stessa scoperta così importante da crittografare persino il messaggio, che oggi può essere tradotto in questo modo: "Tutte le leggi della natura sono descritte da equazioni differenziali". Può sembrare un'esagerazione, ma è così. Qualsiasi legge della fisica, della chimica, della biologia può essere descritta da queste equazioni.
I matematici Euler e Lagrange hanno dato un enorme contributo allo sviluppo e alla creazione della teoria delle equazioni differenziali. Già nel 18° secolo scoprirono e svilupparono ciò che ora stanno studiando nei corsi superiori delle università.
Una nuova pietra miliare nello studio delle equazioni differenziali è iniziata grazie a Henri Poincaré. Ha creato una "teoria qualitativa delle equazioni differenziali", che, in combinazione con la teoria delle funzioni di una variabile complessa, ha dato un contributo significativo alla fondazione della topologia: la scienza dello spazio e la suaproprietà.
Cosa sono le equazioni differenziali?
Molte persone hanno paura di una frase "equazione differenziale". Tuttavia, in questo articolo descriveremo in dettaglio l'intera essenza di questo utilissimo apparato matematico, che in re altà non è così complicato come sembra dal nome. Per iniziare a parlare di equazioni differenziali del primo ordine, dovresti prima familiarizzare con i concetti di base che sono intrinsecamente correlati a questa definizione. E inizieremo con il differenziale.
Differenziale
Molti conoscono questo concetto a scuola. Tuttavia, diamo un'occhiata più da vicino. Immagina un grafico di una funzione. Possiamo aumentarlo a tal punto che uno qualsiasi dei suoi segmenti assumerà la forma di una linea retta. Su di esso prendiamo due punti che sono infinitamente vicini l'uno all' altro. La differenza tra le loro coordinate (x o y) sarà un valore infinitesimo. Si chiama differenziale ed è indicato dai segni dy (differenziale da y) e dx (differenziale da x). È molto importante capire che il differenziale non è un valore finito, e questo è il suo significato e la sua funzione principale.
E ora dobbiamo considerare il prossimo elemento, che ci sarà utile per spiegare il concetto di equazione differenziale. Questa è la derivata.
Derivato
Probabilmente tutti abbiamo sentito a scuola e questo concetto. Si dice che la derivata sia il tasso di crescita o diminuzione di una funzione. Tuttavia, da questa definizionemolto diventa poco chiaro. Proviamo a spiegare la derivata in termini di differenziali. Torniamo a un segmento infinitesimale di una funzione con due punti che si trovano a una distanza minima l'uno dall' altro. Ma anche per questa distanza, la funzione riesce a cambiare di una certa quantità. E per descrivere questo cambiamento, hanno escogitato una derivata, che altrimenti può essere scritta come rapporto di differenziali: f(x)'=df/dx.
Ora vale la pena considerare le proprietà di base della derivata. Ce ne sono solo tre:
- La derivata della somma o della differenza può essere rappresentata come la somma o la differenza delle derivate: (a+b)'=a'+b' e (a-b)'=a'-b'.
- La seconda proprietà è relativa alla moltiplicazione. La derivata di un prodotto è la somma dei prodotti di una funzione e la derivata di un' altra: (ab)'=a'b+ab'.
- La derivata della differenza può essere scritta come la seguente uguaglianza: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Tutte queste proprietà saranno utili per trovare soluzioni alle equazioni differenziali del primo ordine.
Ci sono anche derivati parziali. Diciamo di avere una funzione z che dipende dalle variabili xey. Per calcolare la derivata parziale di questa funzione, diciamo, rispetto a x, dobbiamo prendere la variabile y come costante e semplicemente differenziare.
Integrale
Un altro concetto importante è l'integrale. In effetti, questo è l'esatto opposto della derivata. Esistono diversi tipi di integrali, ma per risolvere le equazioni differenziali più semplici, abbiamo bisogno degli integrali indefiniti più banali.
Quindi cos'è un integrale? Diciamo che abbiamo qualche dipendenza fda x. Prendiamo l'integrale da esso e otteniamo la funzione F (x) (spesso chiamata antiderivata), la cui derivata è uguale alla funzione originale. Quindi F(x)'=f(x). Ne consegue anche che l'integrale della derivata è uguale alla funzione originale.
Quando si risolvono equazioni differenziali, è molto importante capire il significato e la funzione dell'integrale, poiché dovrai prenderle molto spesso per trovare la soluzione.
Le equazioni sono diverse a seconda della loro natura. Nella prossima sezione considereremo i tipi di equazioni differenziali del primo ordine e poi impareremo come risolverli.
Classi di equazioni differenziali
I "Diffury" sono divisi in base all'ordine dei derivati coinvolti. Quindi, c'è il primo, il secondo, il terzo e più ordine. Possono anche essere suddivisi in diverse classi: derivate ordinarie e parziali.
In questo articolo considereremo le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Discuteremo anche esempi e modi per risolverli nelle sezioni seguenti. Considereremo solo le ODE, perché questi sono i tipi più comuni di equazioni. Gli ordinari si dividono in sottospecie: con variabili separabili, omogenee ed eterogenee. Successivamente, imparerai come differiscono l'uno dall' altro e imparerai come risolverli.
Inoltre, queste equazioni possono essere combinate, in modo da ottenere un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Considereremo anche tali sistemi e impareremo come risolverli.
Perché stiamo considerando solo il primo ordine? Perché devi iniziare con uno semplice e descrivere tutto ciò che riguarda il differenzialeequazioni, in un articolo è semplicemente impossibile.
Equazioni variabili separabili
Queste sono forse le equazioni differenziali del primo ordine più semplici. Questi includono esempi che possono essere scritti in questo modo: y'=f(x)f(y). Per risolvere questa equazione, abbiamo bisogno di una formula per rappresentare la derivata come rapporto di differenziali: y'=dy/dx. Usandolo, otteniamo la seguente equazione: dy/dx=f(x)f(y). Ora possiamo passare al metodo per la risoluzione di esempi standard: divideremo le variabili in parti, ovvero trasferiremo tutto con la variabile y nella parte in cui si trova dy, e faremo lo stesso con la variabile x. Otteniamo un'equazione della forma: dy/f(y)=f(x)dx, che si risolve prendendo gli integrali di entrambe le parti. Non dimenticare la costante che deve essere impostata dopo aver preso l'integrale.
La soluzione di qualsiasi "differenza" è una funzione della dipendenza di x da y (nel nostro caso) oppure, se esiste una condizione numerica, la risposta è sotto forma di un numero. Analizziamo l'intero corso della soluzione utilizzando un esempio specifico:
y'=2ypeccato(x)
Sposta le variabili in direzioni diverse:
dy/y=2sin(x)dx
Ora prendiamo gli integrali. Tutti possono essere trovati in una speciale tabella di integrali. E otteniamo:
ln(y)=-2cos(x) + C
Se richiesto, possiamo esprimere "y" in funzione di "x". Ora possiamo dire che la nostra equazione differenziale è risolta se non viene data alcuna condizione. Una condizione può essere data, ad esempio, y(n/2)=e. Quindi sostituiamo semplicemente il valore di queste variabili nella soluzione etrova il valore della costante. Nel nostro esempio è uguale a 1.
Equazioni differenziali omogenee del primo ordine
Ora passiamo alla parte più difficile. Le equazioni differenziali omogenee del primo ordine possono essere scritte in forma generale come segue: y'=z(x, y). Si noti che la funzione giusta di due variabili è omogenea e non può essere divisa in due dipendenze: z su xez su y. Verificare se l'equazione è omogenea o meno è abbastanza semplice: facciamo la sostituzione x=kx e y=ky. Ora cancelliamo tutti i k. Se tutte queste lettere vengono ridotte, l'equazione è omogenea e puoi procedere in sicurezza a risolverla. Guardando al futuro, diciamo: anche il principio per risolvere questi esempi è molto semplice.
Dobbiamo fare una sostituzione: y=t(x)x, dove t è una funzione che dipende anche da x. Quindi possiamo esprimere la derivata: y'=t'(x)x+t. Sostituendo tutto questo nella nostra equazione originale e semplificandola, otteniamo un esempio con variabili separabili t e x. Lo risolviamo e otteniamo la dipendenza t(x). Quando l'abbiamo ottenuto, sostituiamo semplicemente y=t(x)x nella nostra precedente sostituzione. Quindi otteniamo la dipendenza di y da x.
Per renderlo più chiaro, diamo un'occhiata a un esempio: xy'=y-xey/x.
Quando si verifica con la sostituzione, tutto viene ridotto. Quindi l'equazione è davvero omogenea. Ora facciamo un' altra sostituzione di cui abbiamo parlato: y=t(x)x e y'=t'(x)x+t(x). Dopo la semplificazione, otteniamo la seguente equazione: t'(x)x=-et. Risolviamo l'esempio risultante con variabili separate e otteniamo: e-t=ln(Cx). Abbiamo solo bisogno di sostituire t con y/x (dopotutto, se y=tx, allora t=y/x), e otteniamorisposta: e-y/x=ln(xC).
Equazioni differenziali lineari del primo ordine
È tempo di un altro grande argomento. Analizzeremo equazioni differenziali disomogenee del primo ordine. In cosa differiscono dai due precedenti? Scopriamolo. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma generale possono essere scritte come segue: y' + g(x)y=z(x). Vale la pena chiarire che z(x) e g(x) possono essere costanti.
E ora un esempio: y' - yx=x2.
Ci sono due modi per risolverlo e ci occuperemo di entrambi in ordine. Il primo è il metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
Per risolvere l'equazione in questo modo, devi prima equiparare il lato destro a zero e risolvere l'equazione risultante, che dopo aver spostato le parti assumerà la forma:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Ora dobbiamo sostituire la costante C1 con la funzione v(x) che dobbiamo trovare.
y=vex2/2.
Cambiamo la derivata:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
E sostituisci queste espressioni nell'equazione originale:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Puoi vedere che due termini si annullano sul lato sinistro. Se in qualche esempio ciò non è accaduto, allora hai fatto qualcosa di sbagliato. Continua:
v'ex2/2 =x2.
Ora risolviamo la solita equazione in cui dobbiamo separare le variabili:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Per estrarre l'integrale, dobbiamo applicare l'integrazione per parti qui. Tuttavia, questo non è l'argomento del nostro articolo. Se sei interessato, puoi imparare come eseguire tu stesso tali azioni. Non è difficile, e con abilità e attenzione sufficienti non ci vuole molto tempo.
Passiamo al secondo metodo per risolvere equazioni disomogenee: il metodo di Bernoulli. Quale approccio è più veloce e più facile dipende da te.
Quindi, quando risolviamo l'equazione con questo metodo, dobbiamo fare una sostituzione: y=kn. Qui k e n sono alcune funzioni dipendenti da x. Quindi la derivata sarà simile a questa: y'=k'n+kn'. Sostituisci entrambe le sostituzioni nell'equazione:
k'n+kn'+xkn=x2.
Gruppo:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Ora dobbiamo equiparare a zero ciò che è tra parentesi. Ora, se combini le due equazioni risultanti, ottieni un sistema di equazioni differenziali del primo ordine che devi risolvere:
n'+xn=0;
k'n=x2.
La prima uguaglianza viene risolta come una normale equazione. Per fare ciò, devi separare le variabili:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Prendi l'integrale e ottieni: ln(n)=x2/2. Quindi, se esprimiamo n:
n=ex2/2.
Ora sostituiamo l'uguaglianza risultante nella seconda equazione del sistema:
k'ex2/2=x2.
E trasformando, otteniamo la stessa uguaglianza del primo metodo:
dk=x2/ex2/2.
Non andremo nemmeno in ulteriori passaggi. Vale la pena dire che in un primo momento la soluzione di equazioni differenziali del primo ordine causa notevoli difficoltà. Tuttavia, man mano che ti addentri nell'argomento, inizia a migliorare sempre di più.
Dove vengono utilizzate le equazioni differenziali?
Le equazioni differenziali sono utilizzate molto attivamente in fisica, poiché quasi tutte le leggi di base sono scritte in forma differenziale e le formule che vediamo sono la soluzione di queste equazioni. In chimica sono usati per lo stesso motivo: da essi derivano le leggi fondamentali. In biologia, le equazioni differenziali vengono utilizzate per modellare il comportamento di sistemi, come predatore-preda. Possono anche essere usati per creare modelli di riproduzione, ad esempio, di una colonia di microrganismi.
In che modo le equazioni differenziali aiutano nella vita?
La risposta a questa domanda è semplice: assolutamente no. Se non sei uno scienziato o un ingegnere, è improbabile che ti siano utili. Tuttavia, per lo sviluppo generale, non fa male sapere cos'è un'equazione differenziale e come viene risolta. E poi la domanda di un figlio o di una figlia "che cos'è un'equazione differenziale?" non ti confonderà. Bene, se sei uno scienziato o un ingegnere, allora tu stesso capisci l'importanza di questo argomento in qualsiasi scienza. Ma la cosa più importante è che ora la domanda "come risolvere un'equazione differenziale del primo ordine?" puoi sempre rispondere. D'accordo, è sempre belloquando capisci ciò che le persone hanno persino paura di capire.
Problemi di apprendimento principali
Il problema principale nella comprensione di questo argomento è la scarsa capacità di integrare e differenziare le funzioni. Se non sei bravo a prendere derivate e integrali, probabilmente dovresti imparare di più, padroneggiare diversi metodi di integrazione e differenziazione e solo allora iniziare a studiare il materiale descritto nell'articolo.
Alcune persone sono sorprese quando scoprono che dx può essere trasferito, perché in precedenza (a scuola) è stato affermato che la frazione dy/dx è indivisibile. Qui devi leggere la letteratura sulla derivata e capire che è il rapporto di quantità infinitesime che possono essere manipolate durante la risoluzione di equazioni.
Molti non si rendono immediatamente conto che la soluzione di equazioni differenziali del primo ordine è spesso una funzione o un integrale che non può essere preso, e questa illusione crea loro molti problemi.
Cos' altro si può studiare per una migliore comprensione?
È meglio iniziare un'ulteriore immersione nel mondo del calcolo differenziale con libri di testo specializzati, ad esempio in calcolo per studenti di specialità non matematiche. Quindi puoi passare a una letteratura più specializzata.
Va detto che, oltre alle equazioni differenziali, ci sono anche equazioni integrali, quindi avrai sempre qualcosa per cui lottare e qualcosa da studiare.
Conclusione
Ci auguriamo che dopo aver lettoQuesto articolo ti ha dato un'idea di cosa sono le equazioni differenziali e come risolverle correttamente.
In ogni caso, la matematica ci sarà in qualche modo utile nella vita. Sviluppa la logica e l'attenzione, senza le quali ogni persona è come senza mani.
