Uno degli argomenti più difficili e incomprensibili della matematica universitaria è l'integrazione e il calcolo differenziale. È necessario conoscere e comprendere questi concetti, oltre ad essere in grado di applicarli. Molte discipline tecniche universitarie sono legate a differenziali e integrali.
Brevi informazioni sulle equazioni
Queste equazioni sono uno dei concetti matematici più importanti nel sistema educativo. Un'equazione differenziale è un'equazione che mette in relazione le variabili indipendenti, la funzione da trovare e le derivate di quella funzione alle variabili che si presume siano indipendenti. Il calcolo differenziale per trovare una funzione di una variabile è chiamato ordinario. Se la funzione desiderata dipende da più variabili, allora si parla di equazione alle derivate parziali.
In effetti, trovare una risposta certa all'equazione si riduce all'integrazione e il metodo di soluzione è determinato dal tipo di equazione.
Equazioni del primo ordine
Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione che può descrivere una variabile, una funzione desiderata e la sua derivata prima. Tali equazioni possono essere date in tre forme: esplicita, implicita, differenziale.
Concetti necessari per risolvere
Condizione iniziale - impostazione del valore della funzione desiderata per un dato valore di una variabile che è indipendente.
Soluzione di un'equazione differenziale - qualsiasi funzione derivabile, esattamente sostituita nell'equazione originale, la trasforma in identicamente uguale. La soluzione ottenuta, che non è esplicita, è l'integrale dell'equazione.
La soluzione generale delle equazioni differenziali è una funzione y=y(x;C), che può soddisfare i seguenti giudizi:
- Una funzione può avere solo una costante arbitraria С.
- La funzione risultante deve essere una soluzione all'equazione per qualsiasi valore arbitrario di una costante arbitraria.
- Con una data condizione iniziale, una costante arbitraria può essere definita in un modo unico in modo che la particolare soluzione risultante sia coerente con la data condizione iniziale iniziale.
In pratica si ricorre spesso al problema di Cauchy, trovando una soluzione particolare e confrontabile con la condizione posta all'inizio.
Il teorema di Cauchy è un teorema che enfatizza l'esistenza e l'unicità di una particolare soluzione nel calcolo differenziale.
Senso geometrico:
- Soluzione generale y=y(x;C)equazione è il numero totale di curve integrali.
- Il calcolo differenziale consente di collegare le coordinate di un punto nel piano XOY e la tangente disegnata alla curva integrale.
- Impostare la condizione iniziale significa impostare un punto sul piano.
- Risolvere il problema di Cauchy significa che dall'intero insieme di curve integrali che rappresentano la stessa soluzione dell'equazione, è necessario selezionare l'unico passante per l'unico punto possibile.
- Il soddisfacimento delle condizioni del teorema di Cauchy in un punto significa che una curva integrale (per altro una sola) passa necessariamente per il punto prescelto nel piano.
Equazione variabile separabile
Per definizione, un'equazione differenziale è un'equazione in cui il suo lato destro descrive o si riflette come un prodotto (a volte un rapporto) di due funzioni, una dipendente solo da "x" e l' altra - solo da "y ". Un chiaro esempio per questo tipo: y'=f1(x)f2(y).
Per risolvere equazioni di una forma particolare, devi prima trasformare la derivata y'=dy/dx. Quindi, manipolando l'equazione, è necessario portarla in una forma in cui è possibile integrare le due parti dell'equazione. Dopo le necessarie trasformazioni, integriamo entrambe le parti e semplifichiamo il risultato.
Equazioni omogenee
Per definizione, un'equazione differenziale può essere definita omogenea se ha la seguente forma: y'=g(y/x).
In questo caso, viene spesso utilizzata la sostituzione y/x=t(x).
Per risolvere tali equazioni, è necessario ridurre un'equazione omogenea a una forma con variabili separabili. Per fare ciò, è necessario eseguire le seguenti operazioni:
- Visualizza, esprimendo la derivata della funzione originale, da qualsiasi funzione originale come una nuova equazione.
- Il passaggio successivo consiste nel trasformare la funzione risultante nella forma f(x;y)=g(y/x). In parole più semplici, fai in modo che l'equazione contenga solo il rapporto y/x e le costanti.
- Esegui la seguente sostituzione: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. La sostituzione effettuata aiuterà a dividere le variabili nell'equazione, portandola gradualmente a una forma più semplice.
Equazioni lineari
La definizione di tali equazioni è la seguente: un'equazione differenziale lineare è un'equazione in cui il suo lato destro è espresso come un'espressione lineare rispetto alla funzione originale. La funzione desiderata in questo caso: y'=a(x)y + b(x).
Riformuliamo la definizione come segue: qualsiasi equazione del 1° ordine diventerà lineare nella sua forma se la funzione originale e la sua derivata sono incluse nell'equazione di primo grado e non vengono moltiplicate tra loro. La "forma classica" di un'equazione differenziale lineare ha la seguente struttura: y' + P(x)y=Q(x).
Prima di risolvere un'equazione del genere, dovrebbe essere convertita nella "forma classica". Il passo successivo sarà la scelta del metodo risolutivo: il metodo di Bernoulli o il metodo di Lagrange.
Risolvere l'equazione conutilizzando il metodo introdotto da Bernoulli, implica la sostituzione e la riduzione di un'equazione differenziale lineare a due equazioni con variabili separate relative alle funzioni U(x) e V(x), date nella loro forma originaria.
Il metodo di Lagrange consiste nel trovare una soluzione generale all'equazione originale.
- È necessario trovare la stessa soluzione dell'equazione omogenea. Dopo la ricerca, abbiamo la funzione y=y(x, C), dove C è una costante arbitraria.
- Stiamo cercando una soluzione all'equazione originale nella stessa forma, ma consideriamo C=C(x). Sostituiamo la funzione y=y(x, C(x)) nell'equazione originale, troviamo la funzione C(x) e scriviamo la soluzione dell'equazione originale generale.
Equazione di Bernoulli
Equazione di Bernoulli - se il lato destro del calcolo assume la forma f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, dove k è un possibile valore numerico razionale, non preso come casi di esempio in cui k=0 e k=1.
Se k=1, il calcolo diventa separabile e quando k=0, l'equazione rimane lineare.
Consideriamo il caso generale della risoluzione di questo tipo di equazione. Abbiamo l'equazione di Bernoulli standard. Deve essere ridotto a lineare, per questo è necessario dividere l'equazione per yk. Dopo questa operazione, sostituire z(x)=y1-k. Dopo una serie di trasformazioni, l'equazione sarà ridotta a lineare, il più delle volte con il metodo di sostituzione z=UV.
Equazioni nei differenziali totali
Definizione. Un'equazione con la struttura P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 è chiamata equazione per interodifferenziali, se è soddisfatta la seguente condizione (in questa condizione, "d" è un differenziale parziale): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Tutte le equazioni differenziali del primo ordine considerate in precedenza possono essere visualizzate come differenziali.
Tali calcoli vengono risolti in diversi modi. Ma, tuttavia, iniziano tutti con un controllo delle condizioni. Se la condizione è soddisfatta, la regione più a sinistra dell'equazione è il differenziale totale della funzione ancora sconosciuta U(x;y). Quindi, secondo l'equazione, dU (x; y) sarà uguale a zero, e quindi lo stesso integrale dell'equazione nei differenziali totali verrà visualizzato nella forma U (x; y) u003d C. Pertanto, il la soluzione dell'equazione si riduce alla ricerca della funzione U (x; y).
Fattore di integrazione
Se la condizione dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx non è soddisfatta nell'equazione, allora l'equazione non ha la forma che abbiamo considerato sopra. Ma a volte è possibile scegliere qualche funzione M(x;y), quando moltiplicata per la quale l'equazione assume la forma di un'equazione in pieno "diffurs". La funzione M (x;y) è indicata come fattore di integrazione.
Un integratore può essere trovato solo quando diventa una funzione di una sola variabile.
