Lo studio della teoria della probabilità inizia con la risoluzione di problemi di addizione e moltiplicazione delle probabilità. Vale la pena ricordare subito che quando si padroneggia questo campo di conoscenza, uno studente può incontrare un problema: se i processi fisici o chimici possono essere rappresentati visivamente e compresi empiricamente, allora il livello di astrazione matematica è molto alto e la comprensione qui arriva solo con esperienza.
Tuttavia, il gioco vale la candela, perché le formule - considerate in questo articolo e quelle più complesse - sono usate ovunque oggi e potrebbero essere utili nel lavoro.
Origine
Stranamente, l'impulso per lo sviluppo di questa sezione della matematica è stato… il gioco d'azzardo. Infatti, dadi, lancio di monete, poker, roulette sono esempi tipici che utilizzano l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità. Sull'esempio delle attività in qualsiasi libro di testo, questo può essere visto chiaramente. Le persone erano interessate a imparare come aumentare le proprie possibilità di vincita e devo dire che alcune ci sono riuscite.
Ad esempio, già nel 21° secolo, una persona, il cui nome non riveleremo,ha usato questa conoscenza accumulata nel corso dei secoli per “ripulire” letteralmente il casinò, vincendo diverse decine di milioni di dollari alla roulette.
Tuttavia, nonostante il crescente interesse per l'argomento, è stato solo nel XX secolo che è stato sviluppato un quadro teorico che ha reso il "teore" una componente a tutti gli effetti della matematica. Oggi, in quasi tutte le scienze, puoi trovare calcoli usando metodi probabilistici.
Applicabilità
Un punto importante quando si usano formule di addizione e moltiplicazione di probabilità, la probabilità condizionale è la soddisfacibilità del teorema del limite centrale. In caso contrario, anche se potrebbe non essere realizzato dallo studente, tutti i calcoli, per quanto plausibili possano sembrare, saranno errati.
Sì, lo studente altamente motivato è tentato di utilizzare le nuove conoscenze in ogni occasione. Ma in questo caso, si dovrebbe rallentare un po' e definire rigorosamente l'ambito di applicabilità.
La teoria della probabilità si occupa di eventi casuali, che in termini empirici sono il risultato di esperimenti: possiamo tirare un dado a sei facce, pescare una carta da un mazzo, prevedere il numero di parti difettose in un lotto. Tuttavia, in alcune domande è categoricamente impossibile utilizzare le formule di questa sezione della matematica. Discuteremo le caratteristiche della considerazione delle probabilità di un evento, i teoremi di addizione e moltiplicazione di eventi alla fine dell'articolo, ma per ora passiamo agli esempi.
Concetti di base
Un evento casuale indica un processo o un risultato che potrebbe apparire o menocome risultato dell'esperimento. Ad esempio, lanciamo un panino: può far cadere il burro o il burro. Uno dei due risultati sarà casuale e non sappiamo in anticipo quale di essi avrà luogo.
Quando studiamo l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità, abbiamo bisogno di altri due concetti.
Gli eventi congiunti sono quegli eventi, il verificarsi di uno dei quali non esclude il verificarsi dell' altro. Diciamo che due persone sparano a un bersaglio contemporaneamente. Se uno di loro spara con successo, non influirà sulla capacità dell' altro di colpire o mancare.
Incoerenti saranno tali eventi, il cui verificarsi è contemporaneamente impossibile. Ad esempio, tirando fuori dall'area solo una palla, non puoi ottenere sia il blu che il rosso contemporaneamente.
Designazione
Il concetto di probabilità è indicato dalla lettera maiuscola latina P. Successivamente tra parentesi ci sono argomenti che denotano alcuni eventi.
Nelle formule del teorema di addizione, probabilità condizionata, teorema di moltiplicazione, vedrai espressioni tra parentesi, ad esempio: A+B, AB o A|B. Saranno calcolati in vari modi, ora ci occuperemo di loro.
Aggiunta
Consideriamo i casi in cui vengono utilizzate formule di addizione e moltiplicazione.
Per gli eventi incompatibili, è rilevante la formula di addizione più semplice: la probabilità di uno qualsiasi degli esiti casuali sarà uguale alla somma delle probabilità di ciascuno di questi risultati.
Supponiamo che ci sia una scatola con 2 palloncini blu, 3 rossi e 5 gialli. Ci sono 10 articoli in totale nella scatola. Qual è la percentuale di verità dell'affermazione che disegneremo una pallina blu o rossa? Sarà uguale a 2/10 + 3/10, ovvero il cinquanta percento.
Nel caso di eventi incompatibili, la formula si complica, poiché viene aggiunto un termine aggiuntivo. Ci torneremo in un paragrafo, dopo aver considerato un' altra formula.
Moltiplicazione
L'addizione e la moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti vengono utilizzate in casi diversi. Se, in base alle condizioni dell'esperimento, siamo soddisfatti di uno dei due possibili esiti, calcoleremo la somma; se vogliamo ottenere due determinati risultati uno dopo l' altro, ricorreremo a una formula diversa.
Tornando all'esempio della sezione precedente, vogliamo disegnare prima la pallina blu e poi quella rossa. Il primo numero che conosciamo è 2/10. Cosa succede dopo? Sono rimaste 9 palline, ce ne sono ancora lo stesso numero di rosse: tre pezzi. Secondo i calcoli, ottieni 3/9 o 1/3. Ma cosa fare con due numeri adesso? La risposta corretta è moltiplicare per ottenere 2/30.
Eventi congiunti
Ora possiamo rivisitare la formula della somma per gli eventi congiunti. Perché stiamo divagando dall'argomento? Per sapere come si moltiplicano le probabilità. Ora questa conoscenza tornerà utile.
Sappiamo già quali saranno i primi due termini (gli stessi della formula di addizione considerata in precedenza), ora dobbiamo sottrarreil prodotto delle probabilità che abbiamo appena imparato a calcolare. Per chiarezza, scriviamo la formula: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Si scopre che sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità vengono utilizzate in un'unica espressione.
Diciamo che dobbiamo risolvere uno dei due problemi per ottenere credito. Possiamo risolvere il primo con una probabilità di 0,3 e il secondo - 0,6 Soluzione: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Notare che la semplice somma dei numeri qui non sarà sufficiente.
Probabilità condizionale
Infine, c'è il concetto di probabilità condizionata, i cui argomenti sono indicati tra parentesi e separati da una barra verticale. La voce P(A|B) recita come segue: “probabilità dell'evento A dato l'evento B”.
Facciamo un esempio: un amico ti regala un dispositivo, lascia che sia un telefono. Può essere rotto (20%) o buono (80%). Puoi riparare qualsiasi dispositivo che cade nelle tue mani con una probabilità di 0,4 o non sei in grado di farlo (0,6). Infine, se il dispositivo è funzionante, puoi raggiungere la persona giusta con una probabilità di 0,7.
È facile vedere come funziona la probabilità condizionale in questo caso: non puoi contattare una persona se il telefono è rotto e, se è a posto, non è necessario ripararlo. Pertanto, per ottenere qualsiasi risultato sul "secondo livello", è necessario sapere quale evento è stato eseguito sul primo.
Calcoli
Consideriamo esempi di risoluzione di problemi relativi all'addizione e alla moltiplicazione delle probabilità, utilizzando i dati del paragrafo precedente.
In primo luogo, troviamo la probabilità che turiparare il dispositivo che ti è stato dato. Per fare ciò, in primo luogo, deve essere difettoso e, in secondo luogo, è necessario far fronte alla riparazione. Questo è un tipico problema di moltiplicazione: otteniamo 0.20.4=0.08.
Qual è la probabilità che arrivi immediatamente alla persona giusta? Più facile che semplice: 0,80,7=0,56 In questo caso, hai riscontrato che il telefono funziona e hai effettuato correttamente una chiamata.
Infine, considera questo scenario: hai ricevuto un telefono rotto, l'hai riparato, quindi hai composto il numero e la persona dall' altra parte ha risposto al telefono. Qui è già richiesta la moltiplicazione di tre componenti: 0, 20, 40, 7=0, 056.
E se avessi due telefoni non funzionanti contemporaneamente? Quanto è probabile che tu ne risolva almeno uno? Questo è un problema di addizione e moltiplicazione di probabilità, poiché vengono utilizzati eventi congiunti. Soluzione: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Uso attento
Come accennato all'inizio dell'articolo, l'uso della teoria della probabilità dovrebbe essere deliberato e consapevole.
Più grande è la serie di esperimenti, più il valore teoricamente previsto si avvicina a quello pratico. Ad esempio, stiamo lanciando una moneta. Teoricamente, conoscendo l'esistenza di formule per l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità, possiamo prevedere quante volte cadranno testa e croce se conduciamo l'esperimento 10 volte. Abbiamo fatto un esperimento ePer coincidenza, il rapporto tra i lati calati era di 3 a 7. Ma se si esegue una serie di 100, 1000 o più tentativi, si scopre che il grafico di distribuzione si sta avvicinando sempre più a quello teorico: 44 a 56, 482 a 518 e così via.
Adesso immagina che questo esperimento venga effettuato non con una moneta, ma con la produzione di qualche nuova sostanza chimica, la cui probabilità non è nota. Faremmo 10 esperimenti e, se non ottenessimo un risultato positivo, potremmo generalizzare: "la sostanza non può essere ottenuta". Ma chissà, se avessimo fatto l'undicesimo tentativo, avremmo raggiunto l'obiettivo oppure no?
Quindi, se stai andando nell'ignoto, nel regno inesplorato, la teoria della probabilità potrebbe non essere applicabile. Ogni tentativo successivo in questo caso potrebbe avere successo e generalizzazioni come "X non esiste" o "X è impossibile" saranno premature.
Parola di chiusura
Quindi abbiamo esaminato due tipi di addizione, moltiplicazione e probabilità condizionale. Con un ulteriore studio di quest'area, è necessario imparare a distinguere le situazioni in cui viene utilizzata ogni formula specifica. Inoltre, devi capire se i metodi probabilistici sono generalmente applicabili per risolvere il tuo problema.
Se ti eserciti, dopo un po' inizierai a svolgere tutte le operazioni richieste esclusivamente nella tua mente. Per coloro che amano i giochi di carte, questa abilità può essere considerataestremamente prezioso: aumenterai significativamente le tue possibilità di vincita, semplicemente calcolando la probabilità che una particolare carta o seme cada. Tuttavia, le conoscenze acquisite possono essere facilmente applicate in altre aree di attività.
