Per determinare il parallelismo e la perpendicolarità dei piani, nonché per calcolare le distanze tra questi oggetti geometrici, è conveniente utilizzare l'uno o l' altro tipo di funzioni numeriche. Per quali problemi conviene usare l'equazione di un piano in segmenti? In questo articolo vedremo cos'è e come utilizzarlo nelle attività pratiche.
Cos'è un'equazione in segmenti di linea?
Un piano può essere definito nello spazio 3D in diversi modi. In questo articolo, alcuni di essi verranno forniti durante la risoluzione di problemi di vario tipo. Qui diamo una descrizione dettagliata dell'equazione in segmenti del piano. Generalmente ha la seguente forma:
x/p + y/q + z/r=1.
Dove i simboli p, q, r denotano alcuni numeri specifici. Questa equazione può essere facilmente tradotta in un'espressione generale e in altre forme di funzioni numeriche per il piano.
La comodità di scrivere l'equazione in segmenti sta nel fatto che contiene le coordinate esplicite dell'intersezione del piano con gli assi delle coordinate perpendicolari. Sull'asse xrispetto all'origine, il piano taglia un segmento di lunghezza p, sull'asse y - uguale a q, su z - di lunghezza r.
Se una qualsiasi delle tre variabili non è contenuta nell'equazione, significa che il piano non passa per l'asse corrispondente (i matematici dicono che incrocia all'infinito).
Successivamente, ecco alcuni problemi in cui mostreremo come lavorare con questa equazione.
Comunicazione del generale e in segmenti di equazioni
È noto che il piano è dato dalla seguente uguaglianza:
2x - 3y + z - 6=0.
È necessario scrivere questa equazione generale del piano in segmenti.
Quando si presenta un problema simile, devi seguire questa tecnica: trasferiamo il termine libero sul lato destro dell'uguaglianza. Quindi dividiamo l'intera equazione per questo termine, cercando di esprimerlo nella forma data nel paragrafo precedente. Abbiamo:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Abbiamo ottenuto nei segmenti l'equazione del piano, data inizialmente in forma generale. È da notare che il piano taglia segmenti con lunghezze di 3, 2 e 6 rispettivamente per gli assi x, yez. L'asse y interseca il piano nell'area delle coordinate negative.
Quando si redige un'equazione in segmenti, è importante che tutte le variabili siano precedute da un segno "+". Solo in questo caso, il numero per cui questa variabile è divisa mostrerà la coordinata tagliata sull'asse.
Vettore normale e punto sul piano
È noto che alcuni piani hanno un vettore di direzione (3; 0; -1). È anche noto che passa per il punto (1; 1; 1). Per questo piano, scrivi un'equazione in segmenti.
Per risolvere questo problema, dovresti prima usare la forma generale per questo oggetto geometrico bidimensionale. La forma generale è scritta come:
LAx + SIy + Cz + D=0.
I primi tre coefficienti qui sono le coordinate del vettore guida, che è specificato nell'istruzione del problema, ovvero:
LA=3;
B=0;
C=-1.
Resta da trovare il termine libero D. Può essere determinato dalla seguente formula:
RE=-1(LAx1+ By1+ Cz1).
Dove i valori delle coordinate con indice 1 corrispondono alle coordinate di un punto appartenente al piano. Sostituiamo i loro valori dalla condizione del problema, otteniamo:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Ora puoi scrivere l'equazione completa:
3x - z - 2=0.
La tecnica per convertire questa espressione in un'equazione in segmenti del piano è già stata dimostrata sopra. Applicalo:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
La risposta al problema è stata ricevuta. Si noti che questo piano interseca solo gli assi xez. Per y è parallelo.
Due rette che definiscono un piano
Dal corso di geometria spaziale, ogni studente sa che due linee arbitrarie definiscono in modo univoco un piano inspazio tridimensionale. Risolviamo un problema simile.
Sono note due equazioni di rette:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
E' necessario scrivere l'equazione del piano in segmenti, passando per queste linee.
Poiché entrambe le linee devono giacere nel piano, ciò significa che i loro vettori (guide) devono essere perpendicolari al vettore (guida) per il piano. Allo stesso tempo, è noto che il prodotto vettoriale di due segmenti diretti arbitrari dà il risultato sotto forma di coordinate del terzo, perpendicolari ai due originali. Data questa proprietà, otteniamo le coordinate di un vettore normale al piano desiderato:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Poiché può essere moltiplicato per un numero arbitrario, questo forma un nuovo segmento orientato parallelo all'originale, possiamo sostituire il segno delle coordinate ottenute con il contrario (moltiplicare per -1), otteniamo:
(1; 2; 1).
Conosciamo il vettore di direzione. Resta da prendere un punto arbitrario di una delle rette e redigere l'equazione generale del piano:
LA=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Traducendo questa uguaglianza in un'espressione in segmenti, otteniamo:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Così, il piano interseca tutti e tre gli assi nella regione positiva del sistema di coordinate.
Tre punti e un aereo
Proprio come due linee rette, tre punti definiscono un piano in modo univoco nello spazio tridimensionale. Scriviamo l'equazione corrispondente in segmenti se sono note le seguenti coordinate dei punti che giacciono nel piano:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Facciamo quanto segue: calcoliamo le coordinate di due vettori arbitrari che collegano questi punti, quindi troviamo il vettore n¯ normale al piano calcolando il prodotto dei segmenti diretti trovati. Otteniamo:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Prendi il punto P come esempio, componi l'equazione del piano:
LA=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 o z=0.
Abbiamo ottenuto una semplice espressione che corrisponde al piano xy nel dato sistema di coordinate rettangolari. Non può essere scritto in segmenti, poiché gli assi xey appartengono al piano e la lunghezza del segmento tagliato sull'asse z è zero (il punto (0; 0; 0) appartiene al piano).
