La cinematica è una parte della fisica che considera le leggi del moto dei corpi. La sua differenza dalla dinamica è che non considera le forze che agiscono su un corpo in movimento. Questo articolo è dedicato alla questione della cinematica del moto rotatorio.
Movimento di rotazione e sua differenza dal movimento in avanti
Se presti attenzione agli oggetti in movimento circostanti, puoi vedere che si muovono in linea retta (l'auto sta guidando sulla strada, l'aereo vola nel cielo) o in cerchio (il stessa macchina che entra in curva, la rotazione della ruota). Tipi più complessi di movimento degli oggetti possono essere ridotti, in prima approssimazione, a una combinazione dei due tipi indicati.
Il movimento progressivo implica il cambiamento delle coordinate spaziali del corpo. In questo caso, è spesso considerato un punto materiale (le dimensioni geometriche non vengono prese in considerazione).
Il movimento di rotazione è un tipo di movimento in cuiil sistema si muove in un cerchio attorno a un asse. Inoltre, l'oggetto in questo caso è raramente considerato un punto materiale, molto spesso viene utilizzata un' altra approssimazione: un corpo assolutamente rigido. Quest'ultimo significa che le forze elastiche agenti tra gli atomi del corpo vengono trascurate e si presume che le dimensioni geometriche del sistema non cambino durante la rotazione. Il caso più semplice è un asse fisso.
La cinematica del moto traslatorio e rotatorio obbedisce alle stesse leggi di Newton. Simili quantità fisiche sono usate per descrivere entrambi i tipi di movimento.
Quali quantità descrivono il movimento in fisica?
La cinematica del movimento rotatorio e traslatorio utilizza tre grandezze di base:
- Il percorso percorso. Lo indicheremo con la lettera L per traslazione e θ - per movimento rotatorio.
- Velocità. Per un caso lineare, di solito è scritto con la lettera latina v, per il movimento lungo un percorso circolare - con la lettera greca ω.
- Accelerazione. Per un percorso lineare e circolare, vengono utilizzati rispettivamente i simboli a e α.
Si usa spesso anche il concetto di traiettoria. Ma per i tipi di movimento degli oggetti in esame, questo concetto diventa banale, poiché il movimento traslatorio è caratterizzato da una traiettoria lineare e rotazionale - da un cerchio.
Velocità lineare e angolare
Iniziamo la cinematica del moto rotatorio di un punto materialevisto dal concetto di velocità. È noto che per il movimento traslatorio dei corpi, questo valore descrive quale percorso sarà superato per unità di tempo, ovvero:
v=L / t
V si misura in metri al secondo. Per la rotazione, è scomodo considerare questa velocità lineare, poiché dipende dalla distanza dall'asse di rotazione. Viene introdotta una caratteristica leggermente diversa:
ω=θ / t
Questa è una delle formule principali della cinematica del moto rotatorio. Mostra a quale angolo θ l'intero sistema girerà attorno ad un asse fisso nel tempo t.
Entrambe le formule di cui sopra riflettono lo stesso processo fisico di velocità di movimento. Solo per il caso lineare è importante la distanza e per il caso circolare l'angolo di rotazione.
Entrambe le formule interagiscono tra loro. Prendiamo questa connessione. Se esprimiamo θ in radianti, allora un punto materiale che ruota a una distanza R dall'asse, dopo aver compiuto un giro, percorrerà il percorso L=2piR. L'espressione per la velocità lineare assumerà la forma:
v=L / t=2piR / t
Ma il rapporto tra 2pi radianti e il tempo t non è altro che velocità angolare. Quindi otteniamo:
v=ωR
Da qui si può vedere che maggiore è la velocità lineare ve minore è il raggio di rotazione R, maggiore è la velocità angolare ω.
Accelerazione lineare e angolare
Un' altra caratteristica importante nella cinematica del moto rotatorio di un punto materiale è l'accelerazione angolare. Prima di conoscerlo, facciamoloformula per un valore lineare simile:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
La prima espressione riflette l'accelerazione istantanea (dt ->0), mentre la seconda formula è appropriata se la velocità cambia uniformemente nel tempo Δt. L'accelerazione ottenuta nella seconda variante è chiamata media.
Data la somiglianza delle grandezze che descrivono il moto lineare e rotatorio, per l'accelerazione angolare possiamo scrivere:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
L'interpretazione di queste formule è esattamente la stessa del caso lineare. L'unica differenza è che a mostra di quanti metri al secondo cambia la velocità per unità di tempo, e α mostra di quanti radianti al secondo cambia la velocità angolare nello stesso periodo di tempo.
Troviamo il collegamento tra queste accelerazioni. Sostituendo il valore di v, espresso in termini di ω, in una delle due uguaglianze di α, otteniamo:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Ne consegue che minore è il raggio di rotazione e maggiore è l'accelerazione lineare, maggiore è il valore di α.
Distanza percorsa e angolo di svolta
Rimane da fornire formule per l'ultima delle tre grandezze di base nella cinematica del movimento rotatorio attorno ad un asse fisso - per l'angolo di rotazione. Come nei paragrafi precedenti, scriviamo prima la formula per il movimento rettilineo uniformemente accelerato, abbiamo:
L=v0 t + a t2 / 2
L'analogia completa con il movimento rotatorio porta alla seguente formula:
θ=ω0 t + αt2 / 2
L'ultima espressione ti permette di ottenere l'angolo di rotazione per ogni istante t. Si noti che la circonferenza è 2pi radianti (≈ 6,3 radianti). Se, come risultato della risoluzione del problema, il valore di θ è maggiore del valore specificato, allora il corpo ha compiuto più di un giro attorno all'asse.
La formula per la relazione tra L e θ si ottiene sostituendo i valori corrispondenti a ω0 e α tramite caratteristiche lineari:
θ=v0 t / D + at2 / (2D)=L /R
L'espressione risultante riflette il significato dell'angolo θ stesso in radianti. Se θ=1 rad, allora L=R, cioè un angolo di un radiante poggia su un arco di lunghezza un raggio.
Esempio di risoluzione dei problemi
Risolviamo il seguente problema di cinematica rotazionale: sappiamo che l'auto si muove ad una velocità di 70 km/h. Sapendo che il diametro della sua ruota è D=0,4 metri, è necessario determinare il valore di ω per essa, nonché il numero di giri che farà quando l'auto percorre una distanza di 1 chilometro.
Per trovare la velocità angolare, basta sostituire i dati noti nella formula per metterli in relazione con la velocità lineare, otteniamo:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Allo stesso modo per l'angolo θ a cui girerà la ruota dopo il passaggio1 km, otteniamo:
θ=S / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Dato che un giro è 6,2832 radianti, otteniamo il numero di giri ruota che corrisponde a questo angolo:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 giri.
Abbiamo risposto alle domande utilizzando le formule nell'articolo. È stato anche possibile risolvere il problema in un modo diverso: calcolare il tempo per il quale l'auto percorrerà 1 km e sostituirlo nella formula dell'angolo di rotazione, da cui si ottiene la velocità angolare ω. Risposta trovata.
