Polinomiale, o polinomiale - una delle strutture algebriche di base, che si trova nella scuola e nella matematica superiore. Lo studio di un polinomio è l'argomento più importante in un corso di algebra, poiché, da un lato, i polinomi sono abbastanza semplici rispetto ad altri tipi di funzioni, e, dall' altro, sono ampiamente utilizzati nella risoluzione di problemi di analisi matematica. Allora cos'è un polinomio?
Definizione
La definizione del termine polinomio può essere data attraverso il concetto di monomio, o monomio.
Un monomio è un'espressione della forma cx1i1x2 i2 …x in. Qui с è una costante, x1, x2, … x - variabili, i1, i2, … in - esponenti di variabili. Allora un polinomio è una qualsiasi somma finita di monomi.
Per capire cos'è un polinomio, puoi guardare esempi specifici.
Il trinomio quadrato, discusso in dettaglio nel corso di matematica di terza media, è un polinomio: ax2+bx+c.
Un polinomio con due variabili potrebbe assomigliare a questo: x2-xy+y2. Taleun polinomio è anche chiamato quadrato incompleto della differenza tra x e y.
Classificazioni polinomiali
Laurea polinomiale
Per ogni monomio nel polinomio, trova la somma degli esponenti i1+i2+…+in. La più grande delle somme è chiamata esponente del polinomio e il monomio corrispondente a questa somma è chiamato termine più alto.
A proposito, qualsiasi costante può essere considerata un polinomio di grado zero.
Polinomi ridotti e non ridotti
Se il coefficiente c è uguale a 1 per il termine più alto, allora il polinomio è dato, altrimenti non lo è.
Ad esempio, l'espressione x2+2x+1 è un polinomio ridotto e 2x2+2x+1 non è ridotto.
Polinomi omogenei e disomogenei
Se i gradi di tutti i membri di un polinomio sono uguali, allora diciamo che tale polinomio è omogeneo. Tutti gli altri polinomi sono considerati non omogenei.
Polinomi omogenei: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Eterogeneo: x+1, x2+y.
Ci sono nomi speciali per un polinomio di due e tre termini: binomio e trinomio, rispettivamente.
I polinomi di una variabile sono allocati in una categoria separata.
Applicazione di un polinomio di una variabile
I polinomi di una variabile approssimano ben funzioni continue di varia complessità da un argomento.
Il fatto è che tali polinomi possono essere considerati come somme parziali di una serie di potenze, e una funzione continua può essere rappresentata come una serie con un errore arbitrariamente piccolo. Le serie di espansione di una funzione sono dette serie di Taylor e lorosomme parziali sotto forma di polinomi - Polinomi di Taylor.
Studiare graficamente il comportamento di una funzione approssimandola con qualche polinomio è spesso più facile che studiare direttamente la stessa funzione o usare una serie.
È facile cercare derivate di polinomi. Per trovare le radici dei polinomi di grado 4 e inferiori, ci sono formule già pronte e per lavorare con gradi più alti vengono utilizzati algoritmi approssimativi di alta precisione.
C'è anche una generalizzazione dei polinomi descritti per funzioni di più variabili.
Binomiale di Newton
I polinomi famosi sono i polinomi di Newton, derivati dagli scienziati per trovare i coefficienti dell'espressione (x + y).
Basta guardare le prime potenze della scomposizione binomiale per assicurarsi che la formula non sia banale:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Per ogni coefficiente c'è un'espressione che ti permette di calcolarlo. Tuttavia, memorizzare formule ingombranti ed eseguire ogni volta le necessarie operazioni aritmetiche sarebbe estremamente scomodo per quei matematici che spesso hanno bisogno di tali espansioni. Il triangolo di Pascal ha reso loro la vita molto più facile.
La figura è costruita secondo il seguente principio. 1 viene scritto nella parte superiore del triangolo e in ogni riga successiva diventa un' altra cifra, 1 viene messo ai bordi e il centro della riga viene riempito con la somma di due numeri adiacenti del precedente.
Quando guardi l'illustrazione, tutto diventa chiaro.
Naturalmente, l'uso dei polinomi in matematica non si limita agli esempi forniti, i più noti.
