La piramide è una figura spaziale geometrica, le cui caratteristiche vengono studiate al liceo nel corso di geometria solida. In questo articolo considereremo una piramide triangolare, i suoi tipi e le formule per calcolare la sua superficie.
Di quale piramide stiamo parlando?
Una piramide triangolare è una figura che può essere ottenuta collegando tutti i vertici di un triangolo arbitrario con un solo punto che non giace nel piano di questo triangolo. Secondo questa definizione, la piramide in esame dovrebbe essere costituita da un triangolo iniziale, che è detto base della figura, e da tre triangoli laterali che hanno un lato in comune con la base e sono collegati tra loro in un punto. Quest'ultimo è chiamato il vertice della piramide.
L'immagine sopra mostra una piramide triangolare arbitraria.
La figura in esame può essere obliqua o diritta. In quest'ultimo caso, la perpendicolare caduta dalla sommità della piramide alla sua base deve intersecarla nel centro geometrico. il centro geometrico di qualsiasitriangolo è il punto di intersezione delle sue mediane. Il centro geometrico coincide con il centro di massa della figura in fisica.
Se un triangolo regolare (equilatero) giace alla base di una piramide diritta, allora si dice triangolare regolare. In una piramide regolare, tutti i lati sono uguali tra loro e sono triangoli equilateri.
Se l' altezza di una piramide regolare è tale che i suoi triangoli laterali diventino equilateri, allora è chiamata tetraedro. In un tetraedro, tutte e quattro le facce sono uguali tra loro, quindi ciascuna di esse può essere considerata una base.
Elementi piramidali
Questi elementi includono le facce oi lati di una figura, i suoi bordi, i vertici, l' altezza e le apoteme.
Come mostrato, tutti i lati di una piramide triangolare sono triangoli. Il loro numero è 4 (3 laterali e uno alla base).
I vertici sono i punti di intersezione dei tre lati triangolari. Non è difficile intuire che per la piramide in esame ce ne sono 4 (3 appartengono alla base e 1 alla sommità della piramide).
I bordi possono essere definiti come linee che intersecano due lati triangolari, o come linee che collegano ogni due vertici. Il numero di spigoli corrisponde al doppio del numero di vertici di base, cioè per una piramide triangolare è 6 (3 spigoli appartengono alla base e 3 spigoli sono formati dalle facce laterali).
L' altezza, come indicato sopra, è la lunghezza della perpendicolare tracciata dalla sommità della piramide alla sua base. Se disegniamo altezze da questo vertice a ciascun lato della base triangolare,allora saranno chiamati apotemi (o apotemi). Pertanto, la piramide triangolare ha un' altezza e tre apotemi. Questi ultimi sono uguali tra loro per una piramide regolare.
La base della piramide e la sua area
Poiché la base della figura in esame è generalmente un triangolo, per calcolarne l'area è sufficiente trovare la sua altezza ho e la lunghezza del lato della base a, su cui è abbassato. La formula per l'area So della base è:
So=1/2hoa
Se il triangolo della base è equilatero, l'area della base della piramide triangolare viene calcolata utilizzando la seguente formula:
So=√3/4a2
Ovvero, l'area Soè determinata unicamente dalla lunghezza del lato a della base triangolare.
Lato e area totale della figura
Prima di considerare l'area di una piramide triangolare, è utile mostrarne lo sviluppo. È raffigurata sotto.
L'area di questa spazzata formata da quattro triangoli è l'area totale della piramide. Uno dei triangoli corrisponde alla base, la cui formula per il valore considerato è stata scritta sopra. Tre facce triangolari laterali insieme formano l'area laterale della figura. Pertanto, per determinare questo valore, è sufficiente applicare la formula sopra per un triangolo arbitrario a ciascuno di essi, quindi aggiungere i tre risultati.
Se la piramide è corretta, allora il calcolola superficie laterale è facilitata, poiché tutte le facce laterali sono triangoli equilateri identici. Indichiamo hbla lunghezza dell'apotema, quindi l'area della superficie laterale Sb può essere determinata come segue:
Sb=3/2ahb
Questa formula segue dall'espressione generale per l'area di un triangolo. Il numero 3 è apparso nei numeratori per il fatto che la piramide ha tre facce laterali.
Apotema hb in una piramide regolare può essere calcolato se l' altezza della figura h è nota. Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo:
hb=√(h2+ a2/12)
Ovviamente, l'area totale S della superficie della figura è uguale alla somma delle sue aree laterali e di base:
S=So+ Sb
Per una piramide regolare, sostituendo tutti i valori conosciuti, otteniamo la formula:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
L'area di una piramide triangolare dipende solo dalla lunghezza del lato della sua base e dall' altezza.
Esempio di problema
È noto che il bordo laterale di una piramide triangolare è di 7 cm e il lato della base è di 5 cm Devi trovare la superficie della figura se sai che la piramide è regolare.
Usa un'uguaglianza generale:
S=So+ Sb
Area Soè uguale a:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825 cm2.
Per determinare l'area della superficie laterale, devi trovare l'apotema. Non è difficile mostrare che attraverso la lunghezza del bordo laterale ab è determinato dalla formula:
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6.538 cm.
Allora l'area di Sb è:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49.035 cm2.
L'area totale della piramide è:
S=So+ Sb=10.825 + 49.035=59.86cm2.
Nota che quando abbiamo risolto il problema, non abbiamo utilizzato il valore dell' altezza della piramide nei calcoli.
