Angoli diedri della piramide e metodo di calcolo

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

I parametri lineari tipici di qualsiasi piramide sono le lunghezze dei lati della sua base, l' altezza, i bordi laterali e gli apotemi. Tuttavia, c'è un' altra caratteristica associata ai parametri annotati: questo è l'angolo diedro. Considera nell'articolo cos'è e come trovarlo.

Piramide di figure spaziali

Ogni studente ha una buona idea della posta in gioco quando sente la parola "piramide". Può essere costruito geometricamente come segue: seleziona un certo poligono, quindi fissa un punto nello spazio e collegalo a ciascun angolo del poligono. La figura tridimensionale risultante sarà una piramide di tipo arbitrario. Il poligono che lo forma si chiama base, e il punto a cui sono collegati tutti i suoi angoli è il vertice della figura. La figura seguente mostra schematicamente una piramide pentagonale.

Si può vedere che la sua superficie è formata non solo da un pentagono, ma anche da cinque triangoli. In generale, il numero di questi triangoli sarà uguale al numerolati di una base poligonale.

Angoli diedri della figura

Quando si considerano problemi geometrici su un piano, ogni angolo è formato da due rette o segmenti che si intersecano. Nello spazio, a questi angoli lineari si aggiungono angoli diedri, formati dall'intersezione di due piani.

Se alla figura in questione viene applicata la definizione marcata di angolo nello spazio, allora possiamo dire che esistono due tipi di angoli diedri:

• Alla base della piramide. È formato dal piano della base e da una qualsiasi delle facce laterali (triangolo). Ciò significa che gli angoli alla base della piramide sono n, dove n è il numero di lati del poligono.
• Tra i lati (triangoli). Anche il numero di questi angoli diedri è di n pezzi.

Nota che il primo tipo di angoli considerati è costruito sui bordi della base, il secondo tipo - sui bordi laterali.

Come calcolare gli angoli di una piramide?

L'angolo lineare di un angolo diedro è la misura di quest'ultimo. Non è facile calcolarlo, poiché le facce della piramide, a differenza delle facce del prisma, non si intersecano ad angolo retto nel caso generale. È molto affidabile calcolare i valori degli angoli diedri usando le equazioni del piano in forma generale.

Nello spazio tridimensionale, un piano è dato dalla seguente espressione:

LAx + SIy + Cz + D=0

Dove A, B, C, D sono dei numeri reali. La comodità di questa equazione è che i primi tre numeri contrassegnati sono le coordinate del vettore,che è perpendicolare al piano dato, cioè:

n¯=[LA; B; C]

Se si conoscono le coordinate di tre punti appartenenti al piano, allora prendendo il prodotto vettoriale di due vettori costruiti su questi punti, si ottengono le coordinate n¯. Il vettore n¯ è chiamato guida per il piano.

Secondo la definizione, l'angolo diedro formato dall'intersezione di due piani è uguale all'angolo lineare tra i loro vettori di direzione. Supponiamo di avere due piani i cui vettori normali sono uguali:

₁¯=[LA₁; B₁; C₁];

₂¯=[LA₂; B₂; C₂]

Per calcolare l'angolo φ tra di loro, puoi utilizzare la proprietà del prodotto scalare, quindi la formula corrispondente diventa:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

O in forma coordinata:

φ=arccos(|LA₁LA₂+ SI₁SI ₂+ C₁C₂|/(√(LA₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(LA22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Mostriamo come utilizzare il metodo sopra per calcolare gli angoli diedri quando si risolvono problemi geometrici.

Angoli di una piramide quadrangolare regolare

Supponiamo che ci sia una piramide regolare, alla base della quale vi sia un quadrato di lato cm 10. L' altezza della figura è12 cm Bisogna calcolare quali sono gli angoli diedri alla base della piramide e per i suoi lati.

Poiché la figura data nella condizione del problema è corretta, cioè ha un'elevata simmetria, allora tutti gli angoli alla base sono uguali tra loro. Anche gli angoli formati dalle facce laterali sono gli stessi. Per calcolare gli angoli diedri richiesti, troviamo i vettori di direzione per la base e due piani laterali. Indica la lunghezza del lato della base con la lettera a e l' altezza h.

L'immagine sopra mostra una piramide regolare quadrangolare. Scriviamo le coordinate dei punti A, B, C e D secondo il sistema di coordinate inserito:

LA(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

Re(0; 0; h)

Ora troviamo i vettori di direzione per i piani di base ABC e per i due lati ABD e BCD secondo il metodo descritto nel paragrafo precedente:

Per ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Per ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Per BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Ora resta da applicare la formula appropriata per l'angolo φ e sostituire i valori di lato e altezza dall'affermazione del problema:

Angolo tra ABC eABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Angolo tra ABD e BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Abbiamo calcolato i valori degli angoli che dovevano essere trovati dalla condizione del problema. Le formule ottenute per risolvere il problema possono essere utilizzate per determinare gli angoli diedri di piramidi regolari quadrangolari con qualsiasi valore di a e h.

Angoli di una piramide regolare triangolare

La figura sotto mostra una piramide la cui base è un triangolo regolare. È noto che l'angolo diedro tra i lati è retto. È necessario calcolare l'area della base se è noto che l' altezza della figura è di 15 cm.

Un angolo diedro pari a 90^o è indicato come ABC nella figura. Puoi risolvere il problema usando il metodo sopra, ma in questo caso lo faremo più facilmente. Indichiamo il lato del triangolo a, l' altezza della figura - h, l'apotema - h_b e il latocostola - b. Ora puoi scrivere le seguenti formule:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Poiché i due triangoli laterali nella piramide sono uguali, i lati AB e CB sono uguali e sono le gambe del triangolo ABC. Indichiamo la loro lunghezza con x, quindi:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Uguagliando le aree dei triangoli laterali e sostituendo l'apotema nell'espressione corrispondente, abbiamo:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

L'area di un triangolo equilatero è calcolata come segue:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Sostituisci il valore dell' altezza dalla condizione del problema, otteniamo la risposta: S=584, 567 cm².