Quando si studia assolutamente qualsiasi figura spaziale, è importante sapere come calcolarne il volume. Questo articolo fornisce una formula per il volume di una piramide quadrangolare regolare e mostra anche come utilizzare questa formula utilizzando un esempio di risoluzione dei problemi.
Di quale piramide stiamo parlando?
Ogni studente delle superiori sa che una piramide è un poliedro formato da triangoli e un poligono. Quest'ultima è la base della figura. I triangoli hanno un lato in comune con la base e si intersecano in un unico punto, che è la sommità della piramide.
Ogni piramide è caratterizzata dalla lunghezza dei lati della base, dalla lunghezza dei bordi laterali e dall' altezza. Quest'ultimo è un segmento perpendicolare, abbassato alla base dalla sommità della figura.
Una piramide quadrangolare regolare è una figura a base quadrata, la cui altezza interseca questo quadrato al centro. Forse l'esempio più famoso di questo tipo di piramidi sono le antiche strutture in pietra egizie. Di seguito una fotopiramidi di Cheope.
La figura in esame ha cinque facce, quattro delle quali sono triangoli isoscele identici. È inoltre caratterizzato da cinque vertici, quattro dei quali appartengono alla base, e otto spigoli (4 spigoli della base e 4 spigoli delle facce laterali).
La formula per il volume di una piramide quadrangolare è corretta
Il volume della figura in questione è una parte dello spazio limitato da cinque lati. Per calcolare questo volume, utilizziamo la seguente dipendenza dell'area di una fetta parallela alla base della piramide Sz sulla coordinata verticale z:
Sz=So (h - z/h)2
Qui So è l'area della base quadrata. Se sostituiamo z=h nell'espressione scritta, otterremo un valore zero per Sz. Questo valore di z corrisponde a una fetta che conterrà solo la parte superiore della piramide. Se z=0, otteniamo il valore dell'area di base So.
È facile trovare il volume di una piramide se si conosce la funzione Sz(z), per questo basta tagliare la figura in un numero infinito di strati paralleli alla base, quindi eseguire l'operazione di integrazione. Seguo questa tecnica, otteniamo:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Perché S0 èl'area della base del quadrato, quindi, indicando il lato del quadrato con la lettera a, otteniamo la formula per il volume di una piramide quadrangolare regolare:
V=1/3a2h.
Ora usiamo esempi di problem solving per mostrare come dovrebbe essere applicata questa espressione.
Il problema di determinare il volume di una piramide attraverso l'apotema e il bordo laterale
L'apotema di una piramide è l' altezza del suo triangolo laterale, che è abbassato al lato della base. Poiché tutti i triangoli sono uguali in una piramide regolare, anche i loro apotemi saranno gli stessi. Indichiamo la sua lunghezza con il simbolo hb. Indica il bordo laterale come b.
Sapendo che l'apotema della piramide è di 12 cm e il suo bordo laterale è di 15 cm, trova il volume di una piramide quadrangolare regolare.
La formula per il volume della figura scritta nel paragrafo precedente contiene due parametri: lunghezza lato a e altezza h. Al momento non ne conosciamo nessuno, quindi diamo un'occhiata ai loro calcoli.
La lunghezza del lato di un quadrato a è facile da calcolare se usi il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo, in cui l'ipotenusa è lo spigolo b, e le gambe sono l'apotema h b e metà del lato della base a/2. Otteniamo:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Sostituendo i valori noti dalla condizione, otteniamo il valore a=18 cm.
Per calcolare l' altezza h della piramide, puoi fare due cose: considera un rettangoloun triangolo con un bordo ipotenusa-laterale o con un'ipotenusa-apotema. Entrambi i metodi sono uguali e comportano l'esecuzione di altrettante operazioni matematiche. Soffermiamoci sulla considerazione di un triangolo, dove l'ipotenusa è l'apotema hb. Le gambe al suo interno saranno he a / 2. Quindi otteniamo:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Ora puoi usare la formula per il volume V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Quindi, il volume di una piramide quadrangolare regolare è di circa 0,86 litri.
Il volume della piramide di Cheope
Ora risolviamo un problema interessante e praticamente importante: trova il volume della piramide più grande di Giza. È noto dalla letteratura che l' altezza originale dell'edificio era di 146,5 metri e la lunghezza della sua base è di 230,363 metri. Questi numeri ci permettono di applicare la formula per calcolare V. Otteniamo:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Il valore risultante è quasi 2,6 milioni di m3. Questo volume corrisponde al volume di un cubo il cui lato è 137,4 metri.
