Il prisma pentagonale nella risoluzione di problemi di geometria è molto meno comune di prismi triangolari, quadrangolari o esagonali. Tuttavia, è utile rivedere le proprietà di base di questa forma e imparare a disegnarla.
Cos'è un prisma pentagonale?
Questa è una figura tridimensionale, le cui basi sono pentagoni e i lati sono parallelogrammi. Se ciascuno di questi parallelogrammi è perpendicolare alle basi parallele, allora tale prisma è chiamato rettangolare. La superficie laterale di un prisma pentagonale rettangolare è composta da cinque rettangoli. Inoltre, il lato adiacente alla base di ciascuno di essi è uguale alla corrispondente lunghezza del lato del pentagono.
Se il pentagono è regolare, cioè tutti i suoi lati e angoli sono uguali tra loro, allora tale prisma rettangolare è detto regolare. Più avanti nell'articolo considereremo le proprietà di questa particolare figura.
Elementi prismatici
Per lei, come per qualsiasi prisma,sono caratteristici i seguenti elementi:
- le facce o i lati sono parti di piani che delimitano una figura nello spazio;
- cime - punti di intersezione di tre lati;
- nervature - segmenti dell'intersezione di due lati della figura.
I numeri di tutti gli elementi nominati sono correlati tra loro dalla seguente uguaglianza:
Numero di spigoli=numero di vertici + numero di facce - 2
Questa espressione è chiamata formula di Eulero per il poliedro.
In un prisma pentagonale, il numero dei lati è sette (due basi + cinque rettangoli). Il numero di picchi è 10 (cinque per ogni base). Il numero di bordi in questo caso sarà:
Numero di coste=10 + 7 - 2=15
Dieci spigoli appartengono alle basi del prisma e cinque spigoli sono formati da rettangoli.
Come disegnare un prisma pentagonale?
La risposta a questa domanda dipende dal compito specifico. Se è necessario disegnare un prisma arbitrario, è necessario disegnare qualsiasi pentagono. Dopodiché, disegna cinque segmenti paralleli di uguale lunghezza da ciascun vertice del pentagono. Quindi, collegare le estremità superiori dei segmenti. Il risultato è un prisma arbitrario pentagonale.
Se è necessario disegnare un prisma regolare, l'intera complessità del compito si riduce all'ottenimento di un pentagono regolare. Esistono diversi modi per disegnare questo poligono. Qui considereremo solo due modi.
Il primo modo è disegnare un cerchio con un compasso. Quindi viene disegnato un diametro arbitrariocerchio e cinque angoli vengono contati da esso usando un goniometro a 72o(572o=360o). Quando si contano ogni angolo, viene praticata una tacca sul cerchio. Per costruire un rettangolo, resta da collegare le tacche contrassegnate con segmenti diritti.
Il secondo metodo prevede l'utilizzo solo di una bussola e di un righello. È alquanto complesso rispetto al precedente. Di seguito è riportato un video che spiega in dettaglio ogni passaggio di questa build.
Nota che è facile disegnare un pentagono se colleghi le estremità della stella. Se non è necessario disegnare un pentagono esattamente regolare, puoi usare il metodo della stella disegnata a mano.
Non appena il pentagono è disegnato, disegna cinque segmenti paralleli identici da ciascuno dei suoi vertici e collega i loro vertici. Il risultato è un prisma pentagonale.
Area di forma
Ora considera come trovare l'area di un prisma pentagonale. La figura seguente mostra il suo sviluppo. Si può notare che l'area richiesta è formata da due pentagoni identici e cinque rettangoli uguali tra loro.
L'area dell'intera superficie della figura è espressa dalla formula:
S=2So+ 5Sp
Qui gli indici o e p indicano rispettivamente la base e il rettangolo. Indichiamo con a la lunghezza del lato del pentagono e con h l' altezza della figura. Quindi per il rettangolo scriviamo:
Sp=ah
Per calcolare l'area di un pentagono,usa la formula universale:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Dove n è il numero di lati del poligono. Sostituendo n=5, otteniamo:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
La precisione dell'uguaglianza risultante è di 3 cifre decimali, il che è abbastanza per risolvere qualsiasi problema.
Ora resta da trovare la somma delle aree ottenute della base e della superficie laterale. Abbiamo:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Va ricordato che la formula risultante è valida solo per un prisma rettangolare. Nel caso di una figura obliqua, l'area della sua superficie laterale si trova in base alla conoscenza del perimetro del taglio, che deve essere perpendicolare a tutti i parallelogrammi.
Il volume della figura
La formula per calcolare il volume di un prisma pentagonale non è diversa da un'espressione simile per qualsiasi altro prisma o cilindro. Il volume di una figura è uguale al prodotto della sua altezza e dell'area della base:
V=Soh
Se il prisma in questione è rettangolare, la sua altezza è la lunghezza del bordo formato dai rettangoli. L'area di un pentagono regolare è stata calcolata sopra con elevata precisione. Sostituisci questo valore nella formula per il volume e ottieni l'espressione necessaria per un prisma pentagonale regolare:
V=1, 72a2h
Così, calcolando volume e superficieun prisma pentagonale regolare è possibile se si conoscono il lato della base e l' altezza della figura.
