Il corso di geometria della scuola è diviso in due grandi sezioni: planimetria e geometria solida. La stereometria studia le figure spaziali e le loro caratteristiche. In questo articolo, esamineremo cos'è un prisma dritto e forniremo formule che ne descrivono le proprietà come lunghezze diagonali, volume e superficie.
Cos'è un prisma?
Quando agli scolari viene chiesto di nominare la definizione di prisma, rispondono che questa figura è costituita da due poligoni paralleli identici, i cui lati sono collegati da parallelogrammi. Questa definizione è quanto più generale possibile, poiché non pone condizioni sulla forma dei poligoni, sulla loro disposizione reciproca su piani paralleli. Inoltre, implica la presenza di parallelogrammi di collegamento, la cui classe comprende anche un quadrato, un rombo e un rettangolo. Di seguito puoi vedere cos'è un prisma quadrangolare.
Vediamo che un prisma è un poliedro (poliedro) costituito da n + 2lati, 2 × n vertici e 3 × n spigoli, dove n è il numero di lati (vertici) di uno dei poligoni.
Entrambi i poligoni sono solitamente chiamati le basi della figura, le altre facce sono i lati del prisma.
Il concetto di prisma diritto
Ci sono diversi tipi di prismi. Quindi si parla di figure regolari e irregolari, di prismi triangolari, pentagonali e altri, ci sono figure convesse e concave, e infine sono inclinate e diritte. Parliamo di quest'ultimo più in dettaglio.
Un prisma retto è una tale figura della classe studiata dei poliedri, i cui quadrangoli laterali hanno tutti angoli retti. Esistono solo due tipi di tali quadrilateri: un rettangolo e un quadrato.
La forma considerata della figura ha una proprietà importante: l' altezza di un prisma rettilineo è uguale alla lunghezza del suo bordo laterale. Nota che tutti i bordi laterali della figura sono uguali tra loro. Per quanto riguarda le facce laterali, nel caso generale non sono uguali tra loro. La loro uguaglianza è possibile se, oltre al fatto che il prisma è diritto, sarà anche corretta.
La figura sotto mostra una figura dritta con una base pentagonale. Si può vedere che tutte le sue facce laterali sono rettangoli.
Diagonali prismatiche e suoi parametri lineari
Le principali caratteristiche lineari di ogni prisma sono la sua altezza he le lunghezze dei lati della sua base ai, dove i=1, …, n. Se la base è un poligono regolare, è sufficiente conoscere la lunghezza a di un lato per descriverne le proprietà. Conoscere i parametri lineari marcati ci permette inequivocabilmentedefinire tali proprietà di una figura come il suo volume o superficie.
Le diagonali di un prisma rettilineo sono segmenti che collegano due vertici non adiacenti. Tali diagonali possono essere di tre tipi:
- sdraiato sui piani di base;
- situato nei piani dei rettangoli laterali;
- figure appartenenti al volume.
Le lunghezze di quelle diagonali relative alla base dovrebbero essere determinate in base al tipo di n-gon.
Le diagonali dei rettangoli laterali sono calcolate utilizzando la seguente formula:
d1i=√(ai2+ h2).
Per determinare le diagonali di volume, devi conoscere il valore della lunghezza della diagonale di base corrispondente e dell' altezza. Se una diagonale della base è indicata dalla lettera d0i, la diagonale del volume d2i viene calcolata come segue:
d2i=√(d0i2+ h2).
Ad esempio, nel caso di un prisma quadrangolare regolare, la lunghezza della diagonale del volume sarà:
d2=√(2 × a2+ h2).
Nota che un prisma triangolare retto ha solo uno dei tre tipi di diagonali nominati: la diagonale laterale.
Superficie della classe di forme studiata
L'area di superficie è la somma delle aree di tutte le facce di una figura. Per visualizzare tutte le facce, dovresti eseguire una scansione del prisma. A titolo di esempio, di seguito viene mostrata una tale scansione per una figura pentagonale.
Vediamo che il numero di figure piane è n + 2, e n sono rettangoli. Per calcolare l'area dell'intera spazzata, aggiungi le aree di due basi identiche e le aree di tutti i rettangoli. Quindi la formula corrispondente sarà simile a:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Questa uguaglianza mostra che l'area della superficie laterale per il tipo di prisma studiato è uguale al prodotto dell' altezza della figura e del perimetro della sua base.
L'area base di So può essere calcolata applicando la formula geometrica appropriata. Ad esempio, se la base di un prisma retto è un triangolo rettangolo, otteniamo:
So=a1 × a2 / 2.
Dove a1 e a2 sono le gambe del triangolo.
Se la base è un n-gon con angoli e lati uguali, allora la seguente formula sarà corretta:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Formula volume
Determinare il volume di un prisma di qualsiasi tipo non è un compito difficile se si conoscono la sua area di base So e l' altezza h. Moltiplicando insieme questi valori, otteniamo il volume V della figura, ovvero:
V=So × h.
Poiché il parametro h di un prisma rettilineo è uguale alla lunghezza del bordo laterale, l'intero problema del calcolo del volume si riduce al calcolo dell'area So. Sopra noiho già detto alcune parole e dato un paio di formule per determinare So. Qui notiamo solo che nel caso di una base di forma arbitraria, dovresti suddividerla in segmenti semplici (triangoli, rettangoli), calcolare l'area di ciascuno e quindi aggiungere tutte le aree per ottenere S o.
