In parole povere e in breve, lo scopo sono i valori che qualsiasi funzione può assumere. Per esplorare completamente questo argomento, è necessario smontare gradualmente i seguenti punti e concetti. Per prima cosa, comprendiamo la definizione della funzione e la storia del suo aspetto.
Cos'è una funzione
Tutte le scienze esatte ci forniscono molti esempi in cui le variabili in questione dipendono in qualche modo l'una dall' altra. Ad esempio, la densità di una sostanza è completamente determinata dalla sua massa e dal suo volume. La pressione di un gas ideale a volume costante varia con la temperatura. Questi esempi sono accomunati dal fatto che tutte le formule hanno dipendenze tra variabili, che sono dette funzionali.
Una funzione è un concetto che esprime la dipendenza di una quantità da un' altra. Ha la forma y=f(x), dove y è il valore della funzione, che dipende da x - l'argomento. Pertanto, possiamo dire che y è una variabile dipendente dal valore di x. I valori che x può assumere insieme sonoil dominio della funzione data (D(y) o D(f)) e, di conseguenza, i valori di y costituiscono l'insieme dei valori della funzione (E(f) o E(y)). Ci sono casi in cui una funzione è data da una formula. In questo caso, il dominio di definizione è costituito dal valore di tali variabili, in cui ha senso la notazione con la formula.
Ci sono caratteristiche corrispondenti o uguali. Queste sono due funzioni che hanno intervalli uguali di valori validi, così come i valori della funzione stessa sono uguali per tutti gli stessi argomenti.
Molte leggi delle scienze esatte hanno nomi simili alle situazioni della vita reale. C'è un fatto così interessante anche riguardo alla funzione matematica. C'è un teorema sul limite di una funzione "sandwich" tra due altre che hanno lo stesso limite - su due poliziotti. Lo spiegano in questo modo: poiché due poliziotti stanno conducendo un prigioniero in una cella tra di loro, il criminale è costretto ad andarci e semplicemente non ha scelta.
Riferimento a caratteristiche storiche
Il concetto di funzione non è diventato subito definitivo e preciso, ha subito un lungo cammino. In primo luogo, l'Introduzione e lo studio dei luoghi piani e solidi di Fermat, pubblicato alla fine del XVII secolo, affermava quanto segue:
Ogni volta che ci sono due incognite nell'equazione finale, c'è spazio.
In generale, questo lavoro parla di dipendenza funzionale e della sua immagine materiale (luogo=linea).
Inoltre, più o meno nello stesso periodo, Rene Descartes studiò le linee mediante le loro equazioni nella sua opera "Geometria" (1637), dove ancora una volta il fattodipendenza di due quantità l'una dall' altra.
La stessa menzione del termine "funzione" compare solo alla fine del XVII secolo con Leibniz, ma non nella sua interpretazione moderna. Nel suo lavoro scientifico, ha considerato che una funzione è costituita da vari segmenti associati a una linea curva.
Ma già nel 18° secolo la funzione iniziò ad essere definita più correttamente. Bernoulli ha scritto quanto segue:
Una funzione è un valore composto da una variabile e una costante.
I pensieri di Eulero erano anche vicini a questo:
Una funzione di quantità variabile è un'espressione analitica composta in qualche modo da questa quantità variabile e numeri o quantità costanti.
Quando alcune quantità dipendono da altre in modo tale che quando queste ultime cambiano, esse stesse cambiano, le prime sono chiamate funzioni delle seconde.
Grafico delle funzioni
Il grafico della funzione è costituito da tutti i punti appartenenti agli assi del piano delle coordinate, le cui ascisse prendono i valori dell'argomento, e i valori della funzione in questi punti sono le ordinate.
Lo scopo di una funzione è direttamente correlato al suo grafico, perché se delle ascisse sono escluse dall'intervallo di valori validi, è necessario disegnare punti vuoti sul grafico o tracciare il grafico entro determinati limiti. Ad esempio, se si prende un grafico della forma y=tgx, allora il valore x=pi / 2 + pin, n∉R viene escluso dall'area di definizione, nel caso di un grafo tangente è necessario disegnarelinee verticali parallele all'asse y (si chiamano asintoti) passanti per i punti ±pi/2.
Ogni studio approfondito e attento delle funzioni costituisce un'ampia branca della matematica chiamata calcolo. Nella matematica elementare, vengono affrontate anche domande elementari sulle funzioni, ad esempio, costruendo un semplice grafico e stabilendo alcune proprietà di base di una funzione.
Quale funzione può essere impostata su
La funzione può:
- essere una formula, ad esempio: y=cos x;
- impostato da qualsiasi tabella di coppie della forma (x; y);
- avere immediatamente una visualizzazione grafica, per questo le coppie della voce precedente del modulo (x; y) devono essere visualizzate sugli assi delle coordinate.
Fai attenzione quando risolvi alcuni problemi di alto livello, quasi ogni espressione può essere considerata come una funzione rispetto ad alcuni argomenti per il valore della funzione y (x). Trovare il dominio di definizione in tali attività può essere la chiave per la soluzione.
Qual è lo scopo?
La prima cosa che devi sapere su una funzione per studiarla o costruirla è il suo scopo. Il grafico dovrebbe contenere solo quei punti in cui la funzione può esistere. Il dominio di definizione (x) può anche essere indicato come il dominio dei valori accettabili (abbreviato in ODZ).
Per costruire correttamente e velocemente un grafico di funzioni, è necessario conoscere il dominio di questa funzione, perché l'aspetto del grafico e la fedeltà dipendono da essocostruzione. Ad esempio, per costruire una funzione y=√x, devi sapere che x può assumere solo valori positivi. Pertanto, è costruito solo nel primo quadrante delle coordinate.
Campo di definizione sull'esempio delle funzioni elementari
Nel suo arsenale, la matematica ha un piccolo numero di funzioni semplici e definite. Hanno una portata limitata. La soluzione a questo problema non causerà difficoltà anche se hai di fronte una cosiddetta funzione complessa. È solo una combinazione di diversi semplici.
- Quindi, la funzione può essere frazionaria, ad esempio: f(x)=1/x. Pertanto, la variabile (il nostro argomento) è al denominatore e tutti sanno che il denominatore di una frazione non può essere uguale a 0, quindi l'argomento può assumere qualsiasi valore tranne 0. La notazione sarà simile a questa: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Se è presente un'espressione con una variabile al denominatore, è necessario risolvere l'equazione per x ed escludere i valori che portano il denominatore a 0. Per una rappresentazione schematica, sono sufficienti 5 punti ben scelti. Il grafico di questa funzione sarà un'iperbole con un asintoto verticale passante per il punto (0; 0) e, in combinazione, gli assi Ox e Oy. Se l'immagine grafica si interseca con gli asintoti, un tale errore sarà considerato il più grossolano.
- Ma qual è il dominio della radice? Anche il dominio di una funzione con un'espressione radicale (f(x)=√(2x + 5)), contenente una variabile, ha le sue sfumature (si applica solo alla radice di un grado pari). Comela radice aritmetica è un'espressione positiva o uguale a 0, quindi l'espressione radice deve essere maggiore o uguale a 0, risolviamo la seguente disuguaglianza: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, quindi il dominio di questo funzione: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Il grafico è uno dei rami di una parabola, ruotato di 90 gradi, situato nel primo quadrante delle coordinate.
- Se abbiamo a che fare con una funzione logaritmica, allora dovresti ricordare che esiste una restrizione relativa alla base del logaritmo e all'espressione sotto il segno del logaritmo, in questo caso puoi trovare il dominio di definizione come segue. Abbiamo una funzione: y=loga(x + 7), risolviamo la disuguaglianza: x + 7 > 0, x > -7. Allora il dominio di questa funzione è D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Fai attenzione anche alle funzioni trigonometriche della forma y=tgx e y=ctgx, poiché y=tgx=sinx/cos/x e y=ctgx=cosx/sinx, quindi, devi escludere i valori in cui il denominatore può essere uguale a zero. Se hai familiarità con i grafici delle funzioni trigonometriche, comprenderne il dominio è un compito semplice.
Come è diverso lavorare con funzioni complesse
Ricorda alcune regole di base. Se stiamo lavorando con una funzione complessa, non è necessario risolvere qualcosa, semplificare, aggiungere frazioni, ridurre al minimo comune denominatore ed estrarre radici. Dobbiamo esaminare questa funzione perché operazioni diverse (anche identiche) possono modificare l'ambito della funzione, risultando in una risposta errata.
Ad esempio, abbiamo una funzione complessa: y=(x2 - 4)/(x - 2). Non possiamo ridurre numeratore e denominatore della frazione, poiché questo è possibile solo se x ≠ 2, e questo è il compito di trovare il dominio della funzione, quindi non fattoriamo il numeratore e non risolviamo le disuguaglianze, perché il valore al quale la funzione non esiste, visibile ad occhio nudo. In questo caso x non può assumere il valore 2, poiché il denominatore non può andare a 0, la notazione sarà così: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Funzioni reciproche
Per cominciare, vale la pena dire che una funzione può diventare reversibile solo su un intervallo di aumento o diminuzione. Per trovare la funzione inversa, devi scambiare xey nella notazione e risolvere l'equazione per x. I domini di definizione e i domini di valore vengono semplicemente invertiti.
La condizione principale per la reversibilità è un intervallo monotono di una funzione, se una funzione ha intervalli di aumento e diminuzione, allora è possibile comporre la funzione inversa di un qualsiasi intervallo (crescente o decrescente).
Ad esempio, per la funzione esponenziale y=exil reciproco è la funzione logaritmica naturale y=logea=lna. Per la trigonometria, queste saranno funzioni con il prefisso arc-: y=sinx e y=arcsinx e così via. I grafici verranno posizionati simmetricamente rispetto ad alcuni assi o asintoti.
Conclusioni
La ricerca dell'intervallo di valori accettabili si riduce all'esame del grafico delle funzioni (se presente),registrare e risolvere il necessario sistema specifico di disuguaglianze.
Quindi, questo articolo ti ha aiutato a capire a cosa serve lo scopo di una funzione e come trovarlo. Ci auguriamo che ti aiuti a comprendere bene il corso della scuola di base.
