Il vettore è un oggetto geometrico importante, con l'aiuto delle sue proprietà è conveniente risolvere molti problemi sul piano e nello spazio. In questo articolo lo definiremo, considereremo le sue caratteristiche principali e mostreremo anche come utilizzare un vettore nello spazio per definire i piani.
Cos'è un vettore: caso bidimensionale
Prima di tutto, è necessario capire bene di quale oggetto stiamo parlando. In geometria, un segmento diretto è chiamato vettore. Come ogni segmento, è caratterizzato da due elementi principali: i punti di inizio e di fine. Le coordinate di questi punti determinano in modo univoco tutte le caratteristiche del vettore.
Consideriamo un esempio di vettore su un piano. Per fare ciò, disegniamo due assi x e y reciprocamente perpendicolari. Segnaliamo un punto arbitrario P(x, y). Se colleghiamo questo punto all'origine (punto O), e quindi specifichiamo la direzione verso P, otteniamo il vettore OP¯ (più avanti nell'articolo, la barra sopra il simbolo indica che stiamo considerando un vettore). Il disegno vettoriale sull'aereo è mostrato sotto.
Qui viene mostrato anche un altro vettore AB¯, e puoi vedere che le sue caratteristiche sono esattamente le stesse di OP¯, ma si trova in una parte diversa del sistema di coordinate. Mediante la traslazione parallela OP¯, puoi ottenere un numero infinito di vettori con le stesse proprietà.
Vettore nello spazio
Tutti gli oggetti reali che ci circondano sono nello spazio tridimensionale. Lo studio delle proprietà geometriche delle figure tridimensionali si occupa della stereometria, che opera con il concetto di vettori tridimensionali. Differiscono da quelli bidimensionali solo in quanto la loro descrizione richiede una coordinata aggiuntiva, che viene misurata lungo il terzo asse xey perpendicolare z.
La figura sotto mostra un vettore nello spazio. Le coordinate della sua estremità lungo ciascun asse sono indicate da segmenti colorati. L'inizio del vettore si trova nel punto di intersezione di tutti e tre gli assi delle coordinate, ovvero ha le coordinate (0; 0; 0).
Poiché un vettore su un piano è un caso speciale di un segmento diretto nello spazio, nell'articolo considereremo solo un vettore tridimensionale.
Coordinate vettoriali basate su coordinate note del suo inizio e fine
Supponiamo che ci siano due punti P(x1; y1; z1) e Q(x2; y2; z2). Come determinare le coordinate del vettore PQ¯. Innanzitutto, è necessario concordare quale dei punti sarà l'inizio e quale la fine del vettore. In matematica, è consuetudine scrivere l'oggetto in questione lungo la sua direzione, cioè P è l'inizio, Q- fine. In secondo luogo, le coordinate del vettore PQ¯ sono calcolate come differenza tra le corrispondenti coordinate della fine e dell'inizio, ovvero:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Nota che cambiando la direzione del vettore, le sue coordinate cambieranno segno, come segue:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Questo significa PQ¯=-QP¯.
È importante capire un' altra cosa. Si è detto sopra che nel piano vi è un numero infinito di vettori uguali a quello dato. Questo fatto vale anche per il caso spaziale. Infatti, quando abbiamo calcolato le coordinate di PQ¯ nell'esempio sopra, abbiamo eseguito l'operazione di traslazione parallela di questo vettore in modo tale che la sua origine coincidesse con l'origine. Il vettore PQ¯ può essere disegnato come segmento diretto dall'origine al punto M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Proprietà vettoriali
Come qualsiasi oggetto geometrico, un vettore ha alcune caratteristiche intrinseche che possono essere utilizzate per risolvere problemi. Elenchiamoli brevemente.
Il modulo vettoriale è la lunghezza del segmento diretto. Conoscendo le coordinate, è facile calcolarlo. Per il vettore PQ¯ nell'esempio sopra, il modulo è:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Modulo vettoriale attivatoil piano è calcolato con una formula simile, solo senza la partecipazione della terza coordinata.
La somma e la differenza dei vettori viene eseguita secondo la regola del triangolo. La figura seguente mostra come aggiungere e sottrarre questi oggetti.
Per ottenere il vettore somma, aggiungi l'inizio del secondo alla fine del primo vettore. Il vettore desiderato inizierà all'inizio del primo e terminerà alla fine del secondo vettore.
La differenza viene eseguita tenendo conto del fatto che il vettore sottratto viene sostituito da quello opposto, quindi viene eseguita l'operazione di addizione sopra descritta.
Oltre ad addizioni e sottrazioni, è importante essere in grado di moltiplicare un vettore per un numero. Se il numero è uguale a k, allora si ottiene un vettore il cui modulo è k volte diverso da quello originale e la direzione è o la stessa (k>0) o opposta a quella originale (k<0).
Si definisce anche l'operazione di moltiplicazione dei vettori tra loro. Individueremo un paragrafo separato per questo nell'articolo.
Moltiplicazione scalare e vettoriale
Supponiamo che ci siano due vettori u¯(x1; y1; z1) e v¯(x2; y2; z2). Vettore per vettore può essere moltiplicato in due modi diversi:
- Scala. In questo caso, il risultato è un numero.
- Vettore. Il risultato è un nuovo vettore.
Il prodotto scalare dei vettori u¯ e v¯ è calcolato come segue:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Dove α è l'angolo tra i vettori dati.
Si può dimostrare che conoscendo le coordinate u¯ e v¯, il loro prodotto scalare può essere calcolato usando la seguente formula:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Il prodotto scalare è comodo da usare quando si scompone un vettore in due segmenti diretti perpendicolarmente. Viene anche utilizzato per calcolare il parallelismo o l'ortogonalità dei vettori e per calcolare l'angolo tra di loro.
Il prodotto incrociato di u¯ e v¯ dà un nuovo vettore che è perpendicolare a quelli originali e ha modulo:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|peccato(α).
La direzione verso il basso o verso l' alto del nuovo vettore è determinata dalla regola della mano destra (quattro dita della mano destra sono dirette dalla fine del primo vettore alla fine del secondo, e il pollice sporge verso l' alto indica la direzione del nuovo vettore). La figura seguente mostra il risultato del prodotto incrociato per a¯ e b¯ arbitrari.
Il prodotto incrociato viene utilizzato per calcolare le aree delle figure, nonché per determinare le coordinate di un vettore perpendicolare a un dato piano.
I vettori e le loro proprietà sono utili da usare quando si definisce l'equazione di un piano.
Equazione normale e generale del piano
Ci sono diversi modi per definire un piano. Uno di questi è la derivazione dell'equazione generale del piano, che segue direttamente dalla conoscenza del vettore perpendicolare ad esso e di qualche punto noto che appartiene al piano.
Supponiamo che ci sia un vettore n¯ (A; B; C) e un punto P (x0; y0; z 0). Quale condizione soddisferà tutti i punti Q(x; y; z) del piano? Questa condizione consiste nella perpendicolarità di qualsiasi vettore PQ¯ alla normale n¯. Per due vettori perpendicolari, il prodotto scalare diventa zero (cos(90o)=0), scrivi questo:
(n¯PQ¯)=0 o
LA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Aprendo le parentesi, otteniamo:
LAx + By + Cz + (-LAx0-By0-C z0)=0 o
LAx + SIy + Cz +RE=0 dove D=-LAx0-SIy0-Cz0.
Questa equazione è chiamata generale per l'aereo. Vediamo che i coefficienti davanti a x, yez sono le coordinate del vettore perpendicolare n¯. Si chiama guida dell'aereo.
Equazione parametrica vettoriale del piano
Il secondo modo per definire un piano è usare due vettori che si trovano al suo interno.
Supponiamo che ci siano vettori u¯(x1; y1; z1) e v¯(x2; y2; z2). Come è stato detto, ciascuno di essi nello spazio può essere rappresentato da un numero infinito di segmenti diretti identici, quindi è necessario un punto in più per determinare in modo univoco il piano. Sia questo punto P(x0;y0; z0). Qualsiasi punto Q(x; y; z) giace nel piano desiderato se il vettore PQ¯ può essere rappresentato come una combinazione di u¯ e v¯. Cioè, abbiamo:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Dove α e β sono dei numeri reali. Da questa uguaglianza segue l'espressione:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Si chiama equazione vettoriale parametrica del piano rispetto a 2 vettori u¯ e v¯. Sostituendo parametri arbitrari α e β, si possono trovare tutti i punti (x; y; z) appartenenti a questo piano.
Da questa equazione è facile ottenere l'espressione generale per l'aereo. Per fare ciò basta trovare il vettore di direzione n¯, che sarà perpendicolare ad entrambi i vettori u¯ e v¯, vale a dire applicare il loro prodotto vettoriale.
Il problema di determinare l'equazione generale del piano
Mostriamo come utilizzare le formule di cui sopra per risolvere problemi geometrici. Supponiamo che il vettore di direzione del piano sia n¯(5; -3; 1). Dovresti trovare l'equazione del piano, sapendo che il punto P(2; 0; 0) gli appartiene.
L'equazione generale è scritta come:
LAx + SIy + Cz +D=0.
Poiché il vettore perpendicolare al piano è noto, l'equazione assumerà la forma:
5x - 3y + z +D=0.
Resta da trovare il termine libero D. Lo calcoliamo dalla conoscenza delle coordinate P:
D=-LAx0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Quindi, l'equazione desiderata del piano ha la forma:
5x - 3y + z -10=0.
La figura sotto mostra come appare il piano risultante.
Le coordinate indicate dei punti corrispondono alle intersezioni del piano con gli assi x, yez.
Il problema di determinare il piano attraverso due vettori e un punto
Ora supponiamo che il piano precedente sia definito in modo diverso. Sono noti due vettori u¯(-2; 0; 10) e v¯(-2; -10/3; 0), oltre al punto P(2; 0; 0). Come scrivere l'equazione del piano in forma parametrica vettoriale? Usando la formula corrispondente considerata, otteniamo:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Si noti che le definizioni di questa equazione del piano, i vettori u¯ e v¯ possono essere prese assolutamente qualsiasi, ma con una condizione: non devono essere parallele. Altrimenti, il piano non può essere determinato in modo univoco, tuttavia, si può trovare un'equazione per un raggio o un insieme di piani.
