In matematica, c'è il concetto di "insieme", così come esempi di confronto tra questi stessi insiemi. I nomi dei tipi di confronto degli insiemi sono le seguenti parole: biiezione, iniezione, suiezione. Ciascuno di essi è descritto più dettagliatamente di seguito.
Una biiezione è… cos'è?
Un gruppo di elementi del primo set è abbinato al secondo gruppo di elementi del secondo set in questa forma: ogni elemento del primo gruppo è abbinato direttamente con un altro elemento del secondo gruppo, e lì non c'è una situazione con una carenza o un'enumerazione di elementi di uno o di due gruppi di insiemi.
Formulazione delle principali proprietà:
- Un elemento a uno.
- Non ci sono elementi extra durante la corrispondenza e la prima proprietà viene preservata.
- È possibile invertire la mappatura mantenendo la vista generale.
- Una biiezione è una funzione sia iniettiva che suriettiva.
Biiezione dal punto di vista scientifico
Le funzioni biiettive sono esattamente isomorfismi nella categoria "insieme e insieme di funzioni". Tuttavia, le biiezioni non sono sempre isomorfismi per categorie più complesse. Ad esempio, in una certa categoria di gruppi, i morfismi devono essere omomorfismi, poiché devono preservare la struttura del gruppo. Pertanto, gli isomorfismi sono isomorfismi di gruppo, che sono omomorfismi biiettivi.
Il concetto di "corrispondenza uno a uno" è generalizzato alle funzioni parziali, dove sono chiamate biiezioni parziali, sebbene una biiezione parziale sia quella che dovrebbe essere un'iniezione. La ragione di questo rilassamento è che la funzione parziale (propria) non è più definita per parte del suo dominio. Pertanto, non vi è alcuna buona ragione per limitare la sua funzione inversa a una completa, cioè definita ovunque nel suo dominio. L'insieme di tutte le biiezioni parziali a un dato insieme di base è chiamato semigruppo inverso simmetrico.
Un altro modo per definire lo stesso concetto: vale la pena dire che una biiezione parziale di insiemi da A a B è qualsiasi relazione R (funzione parziale) con la proprietà che R è un grafo di biiezione f:A'→B ' dove A' è un sottoinsieme di A e B' è un sottoinsieme di B.
Quando una biiezione parziale è sullo stesso set, a volte viene chiamata trasformazione parziale uno a uno. Un esempio è la trasformata di Möbius appena definita sul piano complesso, non il suo completamento nel piano complesso esteso.
Iniezione
Un gruppo di elementi del primo set è abbinato al secondo gruppo di elementi del secondo set in questa forma: ogni elemento del primo gruppo è abbinato ad un altro elemento del secondo, ma non tutti vengono convertiti in coppie. Il numero di elementi spaiati dipende dalla differenza nel numero di questi stessi elementi in ciascuno degli insiemi: se un insieme è composto da trentuno elementi e l' altro ne ha altri sette, il numero di elementi spaiati è sette. Iniezione diretta nel set. Biiezione e iniezione sono simili, ma nient' altro che simili.
Surjection
Un gruppo di elementi del primo insieme viene abbinato al secondo gruppo di elementi del secondo insieme in questo modo: ogni elemento di qualsiasi gruppo forma una coppia, anche se c'è una differenza tra il numero di elementi. Ne consegue che un elemento di un gruppo può accoppiarsi con più elementi di un altro gruppo.
Né funzione biiettiva, né iniettiva, né suriettiva
Questa è una funzione della forma biiettiva e suriettiva, ma con un resto (non accoppiato)=> iniezione. In tale funzione c'è chiaramente una connessione tra biiezione e suriezione, poiché include direttamente questi due tipi di confronti tra insiemi. Quindi, la totalità di tutti i tipi di queste funzioni non è una di queste isolatamente.
Spiegazione di tutti i tipi di funzioni
Per esempio, l'osservatore è affascinato da quanto segue. Ci sono gare di tiro con l'arco. Ciascuno dii partecipanti vogliono colpire il bersaglio (per facilitare il compito: esattamente dove colpisce la freccia non viene preso in considerazione). Solo tre partecipanti e tre obiettivi: questo è il primo sito (sito) per il torneo. Nelle sezioni successive, il numero di arcieri viene preservato, ma il numero di bersagli viene modificato: sul secondo - quattro bersagli, sul successivo - anche quattro e sul quarto - cinque. Ogni partecipante spara a ogni bersaglio.
- La prima sede del torneo. Il primo arciere colpisce un solo bersaglio. Il secondo colpisce solo un bersaglio. Il terzo si ripete dopo gli altri, e tutti gli arcieri colpiscono bersagli diversi: quelli che gli stanno di fronte. Di conseguenza, 1 (il primo arciere) ha colpito il bersaglio (a), 2 - in (b), 3 - in (c). Si osserva la seguente dipendenza: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). La conclusione sarà il giudizio che un tale confronto di insiemi è una biiezione.
- La seconda piattaforma per il torneo. Il primo arciere colpisce un solo bersaglio. Il secondo colpisce anche un solo bersaglio. Il terzo in re altà non prova a ripetere tutto dopo gli altri, ma la condizione è la stessa: tutti gli arcieri colpiscono bersagli diversi. Ma, come accennato in precedenza, ci sono già quattro obiettivi sulla seconda piattaforma. Dipendenza: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - elemento spaiato dell'insieme. In questo caso, la conclusione sarà il giudizio che tale confronto di set è un'iniezione.
- La terza sede del torneo. Il primo arciere colpisce un solo bersaglio. Il secondo colpisce di nuovo un solo bersaglio. Il terzo decide di rimettersi in sesto e colpisce il terzo e il quarto bersaglio. Di conseguenza, la dipendenza: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Qui, la conclusione sarà il giudizio che un tale confronto di insiemi è una suzione.
- La quarta piattaforma per il torneo. Con il primo è già tutto chiaro, colpisce un solo bersaglio, nel quale presto non ci sarà più spazio per colpi già noiosi. Ora il secondo assume il ruolo dell'ancora recente terzo e colpisce ancora un solo bersaglio, ripetendosi dopo il primo. Il terzo continua a controllarsi e non smette di introdurre la sua freccia sul terzo e quarto bersaglio. Il quinto, tuttavia, era ancora al di fuori del suo controllo. Quindi, dipendenza: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - elemento spaiato dell'insieme di obiettivi. Conclusione: un tale confronto di insiemi non è una suriezione, non un'iniezione e non una biiezione.
Ora costruire una biiezione, iniezione o suzione non sarà un problema, così come trovare differenze tra loro.
