Il triangolo è una delle forme geometriche più comuni, che conosciamo già alle elementari. La domanda su come trovare l'area di un triangolo è affrontata da ogni studente nelle lezioni di geometria. Quindi, quali sono le caratteristiche di trovare l'area di una determinata figura che può essere distinta? In questo articolo considereremo le formule di base necessarie per completare tale compito, oltre ad analizzare i tipi di triangoli.
Tipi di triangoli
Puoi trovare l'area di un triangolo in modi completamente diversi, perché in geometria c'è più di un tipo di figura contenente tre angoli. Queste specie includono:
- Triangolo acuto.
- Ottangolo.
- Equilatero (corretto).
- Triangolo destro.
- Isoscele.
Diamo un'occhiata più da vicino a ciascuno dei tipi esistenti di triangoli.
Acutotriangolo
Una tale figura geometrica è considerata la più comune nella risoluzione di problemi geometrici. Quando diventa necessario disegnare un triangolo arbitrario, questa opzione viene in soccorso.
In un triangolo acuto, come suggerisce il nome, tutti gli angoli sono acuti e si sommano fino a 180°.
Triangolo ad angolo ottuso
Anche questo triangolo è molto comune, ma è un po' meno comune di quello ad angolo acuto. Ad esempio, quando risolvi i triangoli (ovvero, conosci molti dei suoi lati e angoli e devi trovare gli elementi rimanenti), a volte devi determinare se l'angolo è ottuso o meno. Il coseno di un angolo ottuso è un numero negativo.
In un triangolo ottuso, il valore di uno degli angoli supera i 90°, quindi i due angoli rimanenti possono assumere valori piccoli (ad esempio 15° o anche 3°).
Per trovare l'area di un triangolo di questo tipo, devi conoscere alcune sfumature, di cui parleremo più avanti.
Triangoli regolari e isoscele
Un poligono regolare è una figura che include n angoli e tutti i lati e gli angoli sono uguali. Questo è il triangolo rettangolo. Poiché la somma di tutti gli angoli di un triangolo è 180°, ciascuno dei tre angoli è 60°.
Un triangolo regolare, per la sua proprietà, è anche chiamato figura equilatera.
Vale anche la pena notare che inun triangolo regolare può essere inscritto solo con un cerchio e un solo cerchio può essere circoscritto attorno ad esso, e i loro centri si trovano in un punto.
Oltre al tipo equilatero, si può anche selezionare un triangolo isoscele, che differisce leggermente da esso. In un tale triangolo, due lati e due angoli sono uguali tra loro, e il terzo lato (a cui sono adiacenti angoli uguali) è la base.
La figura mostra un triangolo isoscele DEF, i cui angoli D e F sono uguali, e DF è la base.
Triangolo destro
Un triangolo rettangolo è chiamato così perché uno dei suoi angoli è un angolo retto, cioè uguale a 90°. Gli altri due angoli si sommano fino a 90°.
Il lato più grande di un tale triangolo, che giace opposto all'angolo di 90°, è l'ipotenusa, mentre gli altri due dei suoi lati sono le gambe. Per questo tipo di triangoli vale il teorema di Pitagora:
La somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe è uguale al quadrato della lunghezza dell'ipotenusa.
La figura mostra un triangolo rettangolo BAC con ipotenusa AC e gambe AB e BC.
Per trovare l'area di un triangolo ad angolo retto, devi conoscere i valori numerici delle sue gambe.
Passiamo alle formule per trovare l'area di questa figura.
Formule di base
In geometria, ci sono due formule adatte per trovare l'area della maggior parte dei tipi di triangoli, vale a dire per ad angolo acuto, ad angolo ottuso, regolare etriangoli isoscele. Analizziamo ciascuno di essi.
A fianco e altezza
Questa formula è universale per trovare l'area della figura che stiamo considerando. Per fare ciò, è sufficiente conoscere la lunghezza del lato e la lunghezza dell' altezza disegnata su di esso. La formula stessa (metà del prodotto della base e dell' altezza) si presenta così:
S=½AH, dove A è il lato del triangolo dato e H è l' altezza del triangolo.
Ad esempio, per trovare l'area di un triangolo acuto ACB, devi moltiplicare il suo lato AB per l' altezza CD e dividere il valore risultante per due.
Tuttavia, non è sempre facile trovare l'area di un triangolo in questo modo. Ad esempio, per usare questa formula per un triangolo ottuso, devi continuare su uno dei suoi lati e solo dopo disegnargli un' altezza.
In pratica, questa formula viene utilizzata più spesso di altre.
Su due lati e un angolo
Questa formula, come la precedente, è adatta per la maggior parte dei triangoli e nel suo significato è una conseguenza della formula per trovare l'area per lato e altezza di un triangolo. Cioè, la formula in esame può essere facilmente derivata dalla precedente. La sua formulazione è così:
S=½sinOAB, dove A e B sono i lati di un triangolo e O è l'angolo tra i lati A e B.
Ricorda che il seno di un angolo può essere visualizzato in una tabella speciale che prende il nome dall'eccezionale matematico sovietico V. M. Bradis.
E ora passiamo ad altre formule,adatto solo per tipi eccezionali di triangoli.
Area di un triangolo rettangolo
Oltre alla formula universale, che prevede la necessità di disegnare un' altezza in un triangolo, l'area di un triangolo contenente un angolo retto può essere trovata dalle sue gambe.
Quindi, l'area di un triangolo contenente un angolo retto è la metà del prodotto delle sue gambe, ovvero:
S=½ab, dove aeb sono le gambe di un triangolo rettangolo.
Triangolo regolare
Questo tipo di figure geometriche differisce in quanto la sua area può essere trovata con il valore specificato di uno solo dei suoi lati (poiché tutti i lati di un triangolo regolare sono uguali). Quindi, dopo aver affrontato il compito di "trovare l'area di un triangolo quando i lati sono uguali", è necessario utilizzare la seguente formula:
S=LA2√3 / 4, dove A è il lato di un triangolo equilatero.
Formula di Heron
L'ultima opzione per trovare l'area di un triangolo è la formula di Heron. Per utilizzarlo è necessario conoscere le lunghezze dei tre lati della figura. La formula di Heron si presenta così:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), dove a, b e c sono i lati di questo triangolo.
A volte il compito assegnato: "l'area di un triangolo regolare - trova la lunghezza del suo lato". In questo caso, devi usare la formula già nota per trovare l'area di un triangolo regolare e ricavarne il valore del lato (o del suo quadrato):
LA2=4S / √3.
Problemi con l'esame
Nei compiti GIACi sono molte formule in matematica. Inoltre, spesso è necessario trovare l'area di un triangolo su carta a quadretti.
In questo caso, è più conveniente disegnare l' altezza su uno dei lati della figura, determinarne la lunghezza mediante celle e utilizzare la formula universale per trovare l'area:
S=½AH.
Quindi, dopo aver studiato le formule presentate nell'articolo, non avrai problemi a trovare l'area di un triangolo di qualsiasi tipo.
