Un importante oggetto geometrico studiato in uno spazio piatto è una linea retta. Nello spazio tridimensionale, oltre alla retta, c'è anche un piano. Entrambi gli oggetti sono convenientemente definiti usando i vettori di direzione. Che cos'è, come vengono utilizzati questi vettori per determinare le equazioni di una retta e di un piano? Queste e altre domande sono trattate nell'articolo.
Linea diretta e come definirla
Ogni studente ha una buona idea di quale oggetto geometrico sta parlando. Dal punto di vista della matematica, una retta è un insieme di punti che, nel caso della loro connessione arbitraria a coppie, portano a un insieme di vettori paralleli. Questa definizione di linea è usata per scrivere un'equazione sia a due che a tre dimensioni.
Per descrivere l'oggetto unidimensionale considerato, vengono utilizzati diversi tipi di equazioni, che sono elencati nell'elenco seguente:
- vista generale;
- parametrico;
- vettore;
- canonico o simmetrico;
- in segmenti.
Ognuna di queste specie ha dei vantaggi rispetto alle altre. Ad esempio, un'equazione in segmenti è conveniente da usare quando si studia il comportamento di una retta rispetto agli assi delle coordinate, un'equazione generale è conveniente quando si trova una direzione perpendicolare a una determinata retta, nonché quando si calcola l'angolo della sua intersezione con l'asse x (per un caso piatto).
Poiché l'argomento di questo articolo è correlato al vettore direzionale di una retta, considereremo ulteriormente solo l'equazione in cui questo vettore è fondamentale ed è contenuto esplicitamente, cioè un'espressione vettoriale.
Specificare una linea retta attraverso un vettore
Supponiamo di avere un vettore v¯ con coordinate note (a; b; c). Poiché ci sono tre coordinate, il vettore è dato nello spazio. Come rappresentarlo in un sistema di coordinate rettangolare? Questo viene fatto in modo molto semplice: su ciascuno dei tre assi viene tracciato un segmento la cui lunghezza è uguale alla coordinata corrispondente del vettore. Il punto di intersezione delle tre perpendicolari ripristinate ai piani xy, yz e xz sarà la fine del vettore. Il suo inizio è il punto (0; 0; 0).
Tuttavia, la posizione data del vettore non è l'unica. Allo stesso modo, si può disegnare v¯ ponendo la sua origine in un punto arbitrario dello spazio. Questi argomenti dicono che è impossibile impostare una linea specifica usando un vettore. Definisce una famiglia di un numero infinito di rette parallele.
Adessocorreggere un punto P(x0; y0; z0) di spazio. E poniamo la condizione: una retta deve passare per P. In questo caso il vettore v¯ deve contenere anche questo punto. L'ultimo fatto significa che una singola riga può essere definita usando P e v¯. Sarà scritto come la seguente equazione:
Q=P + λ × v¯
Qui Q è qualsiasi punto appartenente alla linea. Questo punto può essere ottenuto scegliendo il parametro λ appropriato. L'equazione scritta è chiamata equazione vettoriale e v¯ è chiamato vettore di direzione della retta. Disponendolo in modo che passi per P e cambiando la sua lunghezza con il parametro λ, otteniamo ogni punto di Q come una retta.
In forma di coordinate, l'equazione sarà scritta come segue:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
E in forma esplicita (parametrica), puoi scrivere:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Se escludiamo la terza coordinata nelle espressioni precedenti, otteniamo le equazioni vettoriali della retta sul piano.
Per quali compiti è utile conoscere il vettore di direzione ?
Di norma, questi sono compiti per determinare il parallelismo e la perpendicolarità delle linee. Inoltre, il vettore diretto che determina la direzione viene utilizzato quando si calcola la distanza tra le rette e un punto e una retta, per descrivere il comportamento di una retta rispetto a un piano.
Duele linee saranno parallele se lo sono i loro vettori di direzione. Di conseguenza, la perpendicolarità delle linee è dimostrata usando la perpendicolarità dei loro vettori. In questi tipi di problemi basta calcolare il prodotto scalare dei vettori considerati per ottenere la risposta.
Nel caso di compiti per il calcolo delle distanze tra linee e punti, il vettore di direzione è esplicitamente incluso nella formula corrispondente. Scriviamolo:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Qui P1P2¯ - costruito sui punti P1 e P 2 segmento diretto. Il punto P2 è arbitrario, giacente sulla retta con il vettore v¯, mentre il punto P1 è quello a cui dovrebbe la distanza essere determinato. Può essere indipendente o appartenere a un' altra linea o piano.
Nota che ha senso calcolare la distanza tra le linee solo quando sono parallele o si intersecano. Se si intersecano, d è zero.
La formula sopra per d vale anche per calcolare la distanza tra un piano e una retta ad esso parallela, solo in questo caso P1 dovrebbe appartenere al piano.
Risolviamo diversi problemi per mostrare meglio come utilizzare il vettore considerato.
Problema di equazione vettoriale
È noto che una retta è descritta dalla seguente equazione:
y=3 × x - 4
Dovresti scrivere l'espressione appropriata inmodulo vettoriale.
Questa è una tipica equazione di una retta, nota a tutti gli scolari, scritta in forma generale. Mostriamo come riscriverlo in forma vettoriale.
L'espressione può essere rappresentata come:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Si può vedere che se lo apri, ottieni l'uguaglianza originale. Ora dividiamo il suo lato destro in due vettori in modo che solo uno di essi contenga x, abbiamo:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Rimane da togliere x tra parentesi, designarlo con un simbolo greco e scambiare i vettori del lato destro:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Abbiamo ottenuto la forma vettoriale dell'espressione originale. Le coordinate del vettore di direzione della retta sono (1; 3).
Il compito di determinare la posizione relativa delle linee
Due righe sono date nello spazio:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Sono paralleli, incrociati o intersecanti?
I vettori diversi da zero (-1; 3; 1) e (1; 2; 0) saranno guide per queste linee. Esprimiamo queste equazioni in forma parametrica e sostituiamo le coordinate della prima nella seconda. Otteniamo:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Sostituisci il parametro trovato λ nelle due equazioni precedenti, otteniamo:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Il parametro γ non può assumere due valori diversi contemporaneamente. Ciò significa che le linee non hanno un unico punto in comune, cioè si intersecano. Non sono paralleli, poiché i vettori diversi da zero non sono tra loro paralleli (per il loro parallelismo deve esistere un numero che, moltiplicandosi per un vettore, porti alle coordinate del secondo).
Descrizione matematica dell'aereo
Per impostare un piano nello spazio, diamo un'equazione generale:
LA × x + B × y + C × z + D=0
Qui le lettere maiuscole latine rappresentano numeri specifici. I primi tre definiscono le coordinate del vettore normale del piano. Se è indicato con n¯, allora:
n¯=(LA; SI; C)
Questo vettore è perpendicolare al piano, quindi è chiamato guida. La sua conoscenza, così come le coordinate note di qualsiasi punto appartenente al piano, determinano in modo univoco quest'ultimo.
Se il punto P(x1; y1; z1) appartiene a l'aereo, quindi l'intercetta D viene calcolata come segue:
RE=-1 × (LA × x1+ SI × y1 + C × z1)
Risolviamo un paio di problemi usando l'equazione generale per l'aereo.
Compitotrovare il vettore normale del piano
L'aereo è definito come segue:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Come trovare un vettore di direzione per lei?
Dalla teoria di cui sopra segue che le coordinate del vettore normale n¯ sono i coefficienti davanti alle variabili. A questo proposito, per trovare n¯, l'equazione dovrebbe essere scritta in forma generale. Abbiamo:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Allora il vettore normale dell'aereo è:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Il problema di elaborare l'equazione del piano
Sono fornite le coordinate di tre punti:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Come sarà l'equazione del piano contenente tutti questi punti.
Attraverso tre punti che non appartengono alla stessa linea, si può disegnare un solo piano. Per trovare la sua equazione, calcoliamo prima il vettore di direzione del piano n¯. Per fare ciò, procediamo come segue: troviamo arbitrariamente due vettori appartenenti al piano e calcoliamo il loro prodotto vettoriale. Darà un vettore che sarà perpendicolare a questo piano, cioè n¯. Abbiamo:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Prendi il punto M1per disegnareespressioni piane. Otteniamo:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Abbiamo ottenuto un'espressione di tipo generale per un piano nello spazio definendo prima un vettore di direzione per esso.
La proprietà del prodotto incrociato dovrebbe essere ricordata quando si risolvono problemi con i piani, poiché consente di determinare le coordinate di un vettore normale in modo semplice.
