Per rendere più facile al lettore immaginare cosa sia un iperboloide - un oggetto tridimensionale - devi prima considerare l'iperbole curva con lo stesso nome, che si inserisce in uno spazio bidimensionale.
Un'iperbole ha due assi: quello reale, che in questa figura coincide con l'asse delle ascisse, e quello immaginario, con l'asse y. Se inizi mentalmente a girare l'equazione di un'iperbole attorno al suo asse immaginario, la superficie "vista" dalla curva sarà un iperboloide a foglio singolo.
Se, tuttavia, iniziamo a ruotare l'iperbole attorno al suo asse reale in questo modo, allora ciascuna delle due "metà" della curva formerà una propria superficie separata, e insieme sarà chiamata due- iperboloide rivestito.
Ottenuti ruotando la corrispondente curva piana, sono rispettivamente detti iperboloidi di rotazione. Hanno parametri in tutte le direzioni perpendicolari all'asse di rotazione,appartenente alla curva ruotata. In generale, questo non è il caso.
Equazione iperboloide
In generale, una superficie può essere definita dalle seguenti equazioni in coordinate cartesiane(x, y, z):
Nel caso di un iperboloide di rivoluzione, la sua simmetria rispetto all'asse attorno al quale ruotava è espressa nell'uguaglianza dei coefficienti a=b.
Caratteristiche iperboloidi
Ha un trucco. Sappiamo che le curve su un piano hanno fuochi - nel caso di un'iperbole, ad esempio, il modulo della differenza di distanze da un punto arbitrario su un'iperbole ad un fuoco e il secondo è costante per definizione, infatti, di fuoco punti.
Quando ci si sposta nello spazio tridimensionale, la definizione praticamente non cambia: i fuochi sono di nuovo due punti e la differenza di distanza da essi a un punto arbitrario appartenente alla superficie iperboloide è costante. Come puoi vedere, dalle modifiche per tutti i punti possibili è apparsa solo la terza coordinata, perché ora sono impostate nello spazio. In generale, definire un focus equivale a identificare il tipo di curva o superficie: parlando di come si trovano i punti della superficie rispetto ai fuochi, rispondiamo effettivamente alla domanda su cos'è un iperboloide e come appare.
Vale la pena ricordare che un'iperbole ha degli asintoti - linee rette, a cui i suoi rami tendono all'infinito. Se, quando si costruisce un iperboloide di rivoluzione, si ruotano mentalmente gli asintoti insieme all'iperbole, allora oltre all'iperboloide si otterrà anche un cono chiamato asintotico. Il cono asintotico èper iperboloidi a un foglio e due fogli.
Un' altra caratteristica importante che ha solo un iperboloide a un foglio sono i generatori rettilinei. Come suggerisce il nome, queste sono linee e giacciono completamente su una determinata superficie. Due generatori rettilinei passano attraverso ciascun punto di un iperboloide a un foglio. Appartengono rispettivamente a due famiglie di rette, descritte dai seguenti sistemi di equazioni:
Così, un iperboloide a un foglio può essere interamente composto da un numero infinito di rette di due famiglie, e ciascuna linea di una di esse si intersecherà con tutte le linee dell' altra. Le superfici corrispondenti a tali proprietà sono dette rigate; possono essere costruiti utilizzando la rotazione di una retta. La definizione attraverso la disposizione reciproca di linee (generatori rettilinei) nello spazio può anche servire come una designazione inequivocabile di cosa sia un iperboloide.
Proprietà interessanti di un iperboloide
Le curve del secondo ordine e le loro corrispondenti superfici di rivoluzione hanno ciascuna proprietà ottiche interessanti associate ai fuochi. Nel caso di un iperboloide, questo è formulato come segue: se un raggio viene sparato da un fuoco, allora, dopo aver riflesso dal "muro" più vicino, prenderà una direzione come se provenisse dal secondo fuoco.
Iperboloidi nella vita
Molto probabilmente, la maggior parte dei lettori ha iniziato a conoscere la geometria analitica e le superfici del secondo ordine da un romanzo di fantascienza di Alexei Tolstoj"Ingegnere iperboloide Garin". Tuttavia, lo stesso scrittore o non sapeva bene cosa fosse un iperboloide, o sacrificava la precisione per amore dell'arte: l'invenzione descritta, in termini di caratteristiche fisiche, è piuttosto un paraboloide che raccoglie tutti i raggi in un fuoco (mentre il le proprietà ottiche dell'iperboloide sono associate alla dispersione dei raggi).
Le cosiddette strutture iperboloidi sono molto popolari in architettura: si tratta di strutture che hanno la forma di un iperboloide a foglio singolo o di un paraboloide iperbolico. Il fatto è che solo queste superfici di rivoluzione del secondo ordine hanno generatori rettilinei: quindi, una struttura curva può essere costruita solo da travi dritte. I vantaggi di tali strutture risiedono nella capacità di sopportare carichi pesanti, ad esempio dal vento: la forma iperboloide viene utilizzata nella costruzione di strutture alte, ad esempio torri televisive.
