In pratica, spesso sorgono compiti che richiedono la capacità di costruire sezioni di forme geometriche di varie forme e trovare l'area delle sezioni. In questo articolo vedremo quanto sono importanti le sezioni di prisma, piramide, cono e cilindro e come calcolarne l'area.
Figure 3D
Dalla stereometria è noto che una figura tridimensionale di qualsiasi tipo è limitata da un numero di superfici. Ad esempio, per poliedri come un prisma e una piramide, queste superfici sono i lati poligonali. Per cilindro e cono si tratta di superfici di rivoluzione di figure cilindriche e coniche.
Se prendiamo un piano e intersechiamo arbitrariamente la superficie di una figura tridimensionale, otterremo una sezione. La sua area è uguale all'area della parte del piano che sarà all'interno del volume della figura. Il valore minimo di quest'area è zero, che si realizza quando il piano tocca la figura. Ad esempio, una sezione formata da un unico punto si ottiene se il piano passa per la sommità di una piramide o di un cono. Il valore massimo dell'area della sezione trasversale dipende dala posizione relativa della figura e del piano, nonché la forma e le dimensioni della figura.
Di seguito, considereremo come calcolare l'area delle sezioni formate per due figure di rivoluzione (cilindro e cono) e due poliedri (piramide e prisma).
Cilindro
Il cilindro circolare è una figura di rotazione di un rettangolo attorno a uno qualsiasi dei suoi lati. Il cilindro è caratterizzato da due parametri lineari: raggio di base r e altezza h. Il diagramma seguente mostra l'aspetto di un cilindro diritto circolare.
Ci sono tre tipi di sezioni importanti per questa figura:
- giro;
- rettangolare;
- ellittica.
L'ellittica è formata come risultato del piano che interseca la superficie laterale della figura ad un certo angolo rispetto alla sua base. Round è il risultato dell'intersezione del piano di taglio della superficie laterale parallela alla base del cilindro. Infine si ottiene un rettangolo se il piano di taglio è parallelo all'asse del cilindro.
L'area circolare è calcolata dalla formula:
S1=pir2
L'area della sezione assiale, cioè rettangolare, che passa per l'asse del cilindro, è definita come segue:
S2=2rh
Sezioni a cono
Un cono è una figura di rotazione di un triangolo rettangolo attorno a una delle gambe. Il cono ha una sommità e una base rotonda. I suoi parametri sono anche raggio r e altezza h. Di seguito è mostrato un esempio di cono di carta.
Ci sono diversi tipi di sezioni coniche. Elenchiamoli:
- giro;
- ellittica;
- parabolico;
- iperbolico;
- triangolare.
Si sostituiscono a vicenda se si aumenta l'angolo di inclinazione del piano secante rispetto alla base rotonda. Il modo più semplice è scrivere le formule per l'area della sezione trasversale di circolare e triangolare.
Si forma una sezione circolare come risultato dell'intersezione di una superficie conica con un piano parallelo alla base. Per la sua area vale la seguente formula:
S1=pir2z2/h 2
Qui z è la distanza dalla parte superiore della figura alla sezione formata. Si può vedere che se z=0, allora il piano passa solo per il vertice, quindi l'area S1 sarà uguale a zero. Poiché z < h, l'area della sezione in studio sarà sempre inferiore al suo valore per la base.
Triangolare si ottiene quando il piano interseca la figura lungo il suo asse di rotazione. La forma della sezione risultante sarà un triangolo isoscele, i cui lati sono il diametro della base e due generatori del cono. Come trovare l'area della sezione trasversale di un triangolare? La risposta a questa domanda sarà la seguente formula:
S2=rh
Questa uguaglianza si ottiene applicando la formula per l'area di un triangolo arbitrario attraverso la lunghezza della sua base e altezza.
Sezioni prismatiche
Prisma è una vasta classe di figure caratterizzate dalla presenza di due basi poligonali identiche tra loro parallele,collegati da parallelogrammi. Qualsiasi sezione di un prisma è un poligono. Data la diversità delle figure in esame (prismi obliqui, diritti, n-gonali, regolari, concavi), è grande anche la varietà delle loro sezioni. Di seguito, consideriamo solo alcuni casi speciali.
Se il piano di taglio è parallelo alla base, l'area della sezione trasversale del prisma sarà uguale all'area di questa base.
Se il piano passa per i centri geometrici delle due basi, cioè è parallelo ai bordi laterali della figura, allora nella sezione si forma un parallelogramma. Nel caso di prismi diritti e regolari, la vista in sezione considerata sarà un rettangolo.
Piramide
Pyramid è un altro poliedro costituito da un n-gon e n triangoli. Di seguito è mostrato un esempio di piramide triangolare.
Se la sezione è disegnata da un piano parallelo alla base n-gonale, la sua forma sarà esattamente uguale alla forma della base. L'area di tale sezione è calcolata dalla formula:
S1=So(h-z)2/h 2
Dove z è la distanza dalla base al piano di sezione, So è l'area della base.
Se il piano di taglio contiene la sommità della piramide e ne interseca la base, otteniamo una sezione triangolare. Per calcolare la sua area, devi fare riferimento all'uso della formula appropriata per un triangolo.
