Ogni studente ha sentito parlare di un cono rotondo e immagina come appare questa figura tridimensionale. Questo articolo definisce lo sviluppo di un cono, fornisce formule che ne descrivono le caratteristiche e descrive come costruirlo usando un compasso, un goniometro e una riga.
Cono circolare in geometria
Diamo una definizione geometrica di questa figura. Un cono rotondo è una superficie formata da segmenti di linea retta che collegano tutti i punti di un determinato cerchio con un singolo punto nello spazio. Questo unico punto non deve appartenere al piano in cui giace il cerchio. Se prendiamo un cerchio invece di un cerchio, questo metodo porta anche a un cono.
Il cerchio è chiamato base della figura, la sua circonferenza è la direttrice. I segmenti che connettono il punto con la direttrice sono detti generatrici o generatori, e il punto in cui si intersecano è il vertice del cono.
Il cono rotondo può essere diritto e obliquo. Entrambe le cifre sono mostrate nella figura seguente.
La differenza tra loro è questa: se la perpendicolare dalla sommità del cono cade esattamente al centro del cerchio, allora il cono sarà diritto. Per lui la perpendicolare, che si chiama altezza della figura, fa parte del suo asse. Nel caso di un cono obliquo, l' altezza e l'asse formano un angolo acuto.
A causa della semplicità e simmetria della figura, considereremo ulteriormente le proprietà di un solo cono retto a base rotonda.
Ottenere una forma usando la rotazione
Prima di passare a considerare lo sviluppo della superficie di un cono, è utile sapere come si può ottenere questa figura spaziale utilizzando la rotazione.
Supponiamo di avere un triangolo rettangolo con i lati a, b, c. I primi due sono gambe, c è l'ipotenusa. Mettiamo un triangolo sulla gamba a e iniziamo a ruotarlo attorno alla gamba b. L'ipotenusa c descriverà quindi una superficie conica. Questa semplice tecnica del cono è mostrata nel diagramma sottostante.
Ovviamente, la gamba a sarà il raggio della base della figura, la gamba b sarà la sua altezza e l'ipotenusa c corrisponderà alla generatrice di un cono rotondo destro.
Vista dello sviluppo del cono
Come puoi immaginare, il cono è formato da due tipi di superfici. Uno di questi è un cerchio di base piatta. Supponiamo che abbia raggio r. La seconda superficie è laterale ed è detta conica. Sia il suo generatore uguale a g.
Se abbiamo un cono di carta, allora possiamo prendere delle forbici e tagliarne la base. Quindi, la superficie conica dovrebbe essere tagliatalungo qualsiasi generatrice e dispiegarlo sull'aereo. In questo modo abbiamo ottenuto uno sviluppo della superficie laterale del cono. Le due superfici, insieme al cono originale, sono mostrate nel diagramma sottostante.
Il cerchio di base è raffigurato in basso a destra. La superficie conica spiegata è mostrata al centro. Risulta che corrisponde a qualche settore circolare del cerchio, il cui raggio è uguale alla lunghezza della generatrice g.
Angolo e area sweep
Ora otteniamo formule che, utilizzando i parametri noti g e r, ci permettono di calcolare l'area e l'angolo del cono.
Ovviamente l'arco del settore circolare mostrato sopra nella figura ha una lunghezza pari alla circonferenza della base, ovvero:
l=2pir.
Se si costruisse l'intero cerchio di raggio g, la sua lunghezza sarebbe:
L=2pig.
Poiché la lunghezza L corrisponde a 2pi radianti, l'angolo su cui poggia l'arco l può essere determinato dalla proporzione corrispondente:
L==>2pi;
l==> φ.
Allora l'angolo sconosciuto φ sarà uguale a:
φ=2pil/L.
Sostituendo le espressioni per le lunghezze l ed L, arriviamo alla formula dell'angolo di sviluppo della superficie laterale del cono:
φ=2pir/g.
L'angolo φ qui è espresso in radianti.
Per determinare l'area Sbdi un settore circolare, utilizzeremo il valore trovato di φ. Facciamo un' altra proporzione, solo per le aree. Abbiamo:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Da dove esprimere Sb, quindi sostituire il valore dell'angolo φ. Otteniamo:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Per l'area di una superficie conica, abbiamo ottenuto una formula abbastanza compatta. Il valore di Sb è uguale al prodotto di tre fattori: pi, il raggio della figura e la sua generatrice.
Allora l'area dell'intera superficie della figura sarà uguale alla somma di Sb e So (circolare superficie di base). Otteniamo la formula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Costruire un cono su carta
Per completare questo compito avrai bisogno di un pezzo di carta, una matita, un goniometro, un righello e un compasso.
Prima di tutto disegniamo un triangolo rettangolo con i lati 3 cm, 4 cm e 5 cm La sua rotazione attorno alla gamba di 3 cm darà il cono desiderato. La figura ha r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
La costruzione di uno sweep inizierà disegnando un cerchio di raggio r con un compasso. La sua lunghezza sarà uguale a 6pi cm Ora accanto ad essa disegneremo un altro cerchio, ma con raggio g. La sua lunghezza corrisponderà a 10pi cm Ora dobbiamo tagliare un settore circolare da un grande cerchio. Il suo angolo φ è:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Ora mettiamo da parte questo angolo con un goniometro su un cerchio di raggio g e disegniamo due raggi che limiteranno il settore circolare.
CosìPertanto, abbiamo costruito uno sviluppo del cono con i parametri specificati di raggio, altezza e generatrice.
Un esempio di risoluzione di un problema geometrico
Dato un cono dritto rotondo. È noto che l'angolo della sua spazzata laterale è 120o. Occorre trovare il raggio e la generatrice di questa figura, se si sa che l' altezza h del cono è 10 cm.
Il compito non è difficile se ricordiamo che un cono tondo è una figura di rotazione di un triangolo rettangolo. Da questo triangolo segue una relazione inequivocabile tra altezza, raggio e generatrice. Scriviamo la formula corrispondente:
g2=h2+ r2.
La seconda espressione da usare quando si risolve è la formula per l'angolo φ:
φ=2pir/g.
Quindi, abbiamo due equazioni che mettono in relazione due incognite (r e g).
Esprimi g dalla seconda formula e sostituisci il risultato nella prima, otteniamo:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angolo φ=120o in radianti è 2pi/3. Sostituiamo questo valore, otteniamo le formule finali per r e g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Rimane da sostituire il valore dell' altezza e ottenere la risposta alla domanda problematica: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
