Queste forme geometriche ci circondano ovunque. I poligoni convessi possono essere naturali, come un nido d'ape, o artificiali (creati dall'uomo). Queste figure sono utilizzate nella produzione di vari tipi di rivestimenti, in pittura, architettura, decorazioni, ecc. I poligoni convessi hanno la proprietà che tutti i loro punti sono sullo stesso lato di una retta che passa attraverso una coppia di vertici adiacenti di questa figura geometrica. Ci sono anche altre definizioni. Un poligono si dice convesso se si trova in un unico semipiano rispetto a una retta che ne contiene uno dei lati.
Poligoni convessi
Nel corso di geometria elementare si considerano sempre solo i poligoni semplici. Per capire tutte le proprietà di taliforme geometriche, è necessario comprenderne la natura. Per cominciare, dovrebbe essere chiaro che qualsiasi linea è chiamata chiusa, le cui estremità coincidono. Inoltre, la figura da esso formata può avere una varietà di configurazioni. Un poligono è una semplice linea spezzata chiusa, in cui i collegamenti adiacenti non si trovano sulla stessa linea retta. I suoi collegamenti e vertici sono, rispettivamente, i lati e i vertici di questa figura geometrica. Una polilinea semplice non deve avere autointersezioni.
I vertici di un poligono si dicono adiacenti se rappresentano le estremità di uno dei suoi lati. Una figura geometrica che ha l'ennesimo numero di vertici, e quindi l'ennesimo numero di lati, è chiamata n-gon. La linea spezzata stessa è chiamata bordo o contorno di questa figura geometrica. Un piano poligonale o un poligono piatto è chiamato la parte terminale di qualsiasi piano da esso delimitato. I lati adiacenti di questa figura geometrica sono chiamati segmenti di una linea spezzata che emana da un vertice. Non saranno adiacenti se provengono da vertici diversi del poligono.
Altre definizioni di poligoni convessi
Nella geometria elementare, ci sono molte altre definizioni equivalenti che indicano quale poligono è chiamato convesso. Tutte queste affermazioni sono ugualmente vere. Un poligono è considerato convesso se:
• ogni segmento che collega due punti qualsiasi al suo interno giace interamente al suo interno;
• al suo internotutte le sue diagonali giacciono;
• qualsiasi angolo interno non superi 180°.
Un poligono divide sempre un piano in 2 parti. Uno di questi è limitato (può essere racchiuso in un cerchio) e l' altro è illimitato. La prima è chiamata regione interna e la seconda è la regione esterna di questa figura geometrica. Questo poligono è un'intersezione (in altre parole, un componente comune) di diversi semipiani. Inoltre, ogni segmento che ha estremità in punti che appartengono al poligono gli appartiene completamente.
Varietà di poligoni convessi
La definizione di un poligono convesso non indica che ce ne siano molti tipi. E ognuno di loro ha determinati criteri. Quindi, i poligoni convessi che hanno un angolo interno di 180° sono chiamati debolmente convessi. Una figura geometrica convessa che ha tre vertici è chiamata triangolo, quattro - un quadrilatero, cinque - un pentagono, ecc. Ciascuno degli n-goni convessi soddisfa il seguente requisito essenziale: n deve essere uguale o maggiore di 3. Ciascuno di il triangolo è convesso. Una figura geometrica di questo tipo, in cui tutti i vertici si trovano sullo stesso cerchio, è chiamata inscritta in un cerchio. Un poligono convesso si dice circoscritto se tutti i suoi lati vicini al cerchio lo toccano. Due poligoni si dicono uguali solo se possono essere sovrapposti per sovrapposizione. Un poligono piano è detto piano poligonale.(parte del piano), che è limitato da questa figura geometrica.
Poligoni convessi regolari
I poligoni regolari sono forme geometriche con angoli e lati uguali. Al loro interno c'è un punto 0, che è alla stessa distanza da ciascuno dei suoi vertici. È chiamato il centro di questa figura geometrica. I segmenti che connettono il centro con i vertici di questa figura geometrica sono detti apotemi e quelli che connettono il punto 0 con i lati sono detti raggi.
Un quadrilatero regolare è un quadrato. Un triangolo equilatero è detto triangolo equilatero. Per tali figure, c'è la seguente regola: ogni angolo di un poligono convesso è 180°(n-2)/ n, dove n è il numero di vertici di questa figura geometrica convessa.
L'area di qualsiasi poligono regolare è determinata dalla formula:
S=ph, dove p è la metà della somma di tutti i lati del poligono dato e h è la lunghezza dell'apotema.
Proprietà dei poligoni convessi
I poligoni convessi hanno determinate proprietà. Quindi, un segmento che collega 2 punti qualsiasi di una tale figura geometrica si trova necessariamente in esso. Prova:
Assumiamo che P sia un dato poligono convesso. Prendiamo 2 punti arbitrari, ad esempio A, B, che appartengono a P. Secondo la definizione esistente di poligono convesso, questi punti si trovano sullo stesso lato della linea, che contiene qualsiasi lato di P. Pertanto, anche AB ha questa proprietà ed è contenuto in P. Un poligono convesso può sempre essere diviso in più triangoli da tutte le diagonali disegnate in assoluto da uno dei suoi vertici.
Angoli di forme geometriche convesse
Gli angoli di un poligono convesso sono gli angoli formati dai suoi lati. Gli angoli interni si trovano nella regione interna di una determinata figura geometrica. L'angolo formato dai suoi lati che convergono in un vertice è chiamato angolo di un poligono convesso. Gli angoli adiacenti agli angoli interni di una data figura geometrica sono detti esterni. Ogni angolo di un poligono convesso situato al suo interno è:
180° - x, dove x è il valore dell'angolo esterno. Questa semplice formula funziona per qualsiasi forma geometrica di questo tipo.
In generale, per gli angoli esterni vale la seguente regola: ogni angolo di un poligono convesso è uguale alla differenza tra 180° e il valore dell'angolo interno. Può avere valori che vanno da -180° a 180°. Pertanto, quando l'angolo interno è 120°, l'angolo esterno sarà 60°.
Somma degli angoli di poligoni convessi
La somma degli angoli interni di un poligono convesso è determinata dalla formula:
180°(n-2), dove n è il numero di vertici di n-gon.
La somma degli angoli di un poligono convesso è abbastanza facile da calcolare. Considera una tale figura geometrica. Per determinare la somma degli angoli all'interno di un poligono convesso, è necessariocollegare uno dei suoi vertici ad altri vertici. Come risultato di questa azione, si ottengono (n-2) triangoli. Sappiamo che la somma degli angoli di ogni triangolo è sempre 180°. Poiché il loro numero in ogni poligono è (n-2), la somma degli angoli interni di tale figura è 180° x (n-2).
La somma degli angoli di un poligono convesso, cioè due angoli esterni interni ed adiacenti qualsiasi, per una data figura geometrica convessa sarà sempre uguale a 180°. Sulla base di questo, puoi determinare la somma di tutti i suoi angoli:
180 x n.
La somma degli angoli interni è 180°(n-2). Sulla base di ciò, la somma di tutti gli angoli esterni di questa figura è determinata dalla formula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
La somma degli angoli esterni di qualsiasi poligono convesso sarà sempre 360° (indipendentemente dal numero di lati).
L'angolo esterno di un poligono convesso è generalmente rappresentato dalla differenza tra 180° e il valore dell'angolo interno.
Altre proprietà di un poligono convesso
Oltre alle proprietà di base di queste forme geometriche, ne hanno altre che emergono quando le manipolano. Quindi, uno qualsiasi dei poligoni può essere diviso in diversi n-goni convessi. Per fare ciò, è necessario continuare ciascuno dei suoi lati e tagliare questa figura geometrica lungo queste linee rette. È anche possibile dividere qualsiasi poligono in più parti convesse in modo tale che i vertici di ciascuno dei pezzi coincidano con tutti i suoi vertici. Da una figura così geometrica, i triangoli possono essere realizzati molto semplicemente disegnando tuttidiagonali da un vertice. Pertanto, qualsiasi poligono può essere eventualmente suddiviso in un certo numero di triangoli, il che risulta essere molto utile per risolvere vari problemi associati a tali forme geometriche.
Perimetro di un poligono convesso
I segmenti di una linea spezzata, detti lati di un poligono, sono spesso indicati dalle seguenti lettere: ab, bc, cd, de, ea. Questi sono i lati di una figura geometrica con i vertici a, b, c, d, e. La somma delle lunghezze di tutti i lati di questo poligono convesso è chiamata perimetro.
Circonferenza del poligono
I poligoni convessi possono essere inscritti e circoscritti. Un cerchio che tocca tutti i lati di questa figura geometrica è detto inscritto in essa. Tale poligono è detto circoscritto. Il centro di una circonferenza inscritta in un poligono è il punto di intersezione delle bisettrici di tutti gli angoli all'interno di una data figura geometrica. L'area di un tale poligono è:
S=pr, dove r è il raggio del cerchio inscritto e p è il semiperimetro del poligono dato.
Un cerchio contenente i vertici di un poligono si dice circoscritto attorno ad esso. Inoltre, questa figura geometrica convessa è chiamata inscritta. Il centro del cerchio, che è circoscritto a tale poligono, è il punto di intersezione delle cosiddette bisettrici perpendicolari di tutti i lati.
Diagonali di forme geometriche convesse
Le diagonali di un poligono convesso sono segmenti checollegare vertici non adiacenti. Ognuno di loro giace all'interno di questa figura geometrica. Il numero di diagonali di un tale n-gon è impostato dalla formula:
N=n (n – 3)/ 2.
Il numero di diagonali di un poligono convesso gioca un ruolo importante nella geometria elementare. Il numero di triangoli (K) in cui è possibile dividere ciascun poligono convesso si calcola con la seguente formula:
K=n – 2.
Il numero di diagonali di un poligono convesso dipende sempre dal numero dei suoi vertici.
Decomposizione di un poligono convesso
In alcuni casi, per risolvere problemi geometrici, è necessario dividere un poligono convesso in più triangoli con diagonali non intersecanti. Questo problema può essere risolto derivando una formula specifica.
Definizione del problema: chiamiamo una partizione propria di un n-gon convesso in più triangoli per diagonali che si intersecano solo ai vertici di questa figura geometrica.
Soluzione: Supponiamo che Р1, Р2, Р3 …, Pn siano vertici di questo n-gon. Il numero Xn è il numero delle sue partizioni. Consideriamo attentamente la diagonale ottenuta della figura geometrica Pi Pn. In una qualsiasi delle partizioni regolari P1 Pn appartiene a un certo triangolo P1 Pi Pn, che ha 1<i<n. Procedendo da questo e assumendo che i=2, 3, 4 …, n-1, otteniamo (n-2) gruppi di queste partizioni, che includono tutti i possibili casi particolari.
Sia i=2 un gruppo di partizioni regolari, contenente sempre la diagonale Р2 Pn. Il numero di partizioni che vi accedono è uguale al numero di partizioni(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. In altre parole, è uguale a Xn-1.
Se i=3, allora questo altro gruppo di partizioni conterrà sempre le diagonali Р3 Р1 e Р3 Pn. In questo caso, il numero di partizioni regolari contenute in questo gruppo coinciderà con il numero di partizioni di (n-2)-gon P3 P4 … Pn. In altre parole, sarà uguale a Xn-2.
Sia i=4, allora tra i triangoli una partizione regolare conterrà certamente un triangolo P1 P4 Pn, al quale congiungerà il quadrilatero P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. Il numero di partizioni regolari di un tale quadrilatero è X4 e il numero di partizioni di un (n-3)-gon è Xn-3. Sulla base di quanto sopra, possiamo dire che il numero totale di partizioni corrette contenute in questo gruppo è Xn-3 X4. Altri gruppi con i=4, 5, 6, 7… conterranno Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … partizioni regolari.
Sia i=n-2, allora il numero di divisioni corrette in questo gruppo sarà uguale al numero di divisioni nel gruppo dove i=2 (in altre parole, è uguale a Xn-1).
Poiché X1=X2=0, X3=1, X4=2…, il numero di tutte le partizioni di un poligono convesso è:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Esempio:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Numero di partizioni corrette che intersecano una diagonale interna
Quando si controllano casi speciali, si può arrivare al'assunto che il numero di diagonali di n-gon convessi sia uguale al prodotto di tutte le partizioni di questa figura per (n-3).
Dimostrazione di questa assunzione: immagina che P1n=Xn(n-3), allora ogni n-gon può essere diviso in (n-2)-triangoli. Inoltre, da essi può essere composto un (n-3)-quadrilatero. Insieme a questo, ogni quadrilatero avrà una diagonale. Poiché in questa figura geometrica convessa possono essere tracciate due diagonali, ciò significa che è possibile tracciare ulteriori (n-3) diagonali in qualsiasi (n-3) quadrilatero. Sulla base di ciò, possiamo concludere che in qualsiasi partizione regolare è possibile disegnare (n-3) diagonali che soddisfano le condizioni di questo problema.
Area dei poligoni convessi
Spesso, quando si risolvono vari problemi di geometria elementare, diventa necessario determinare l'area di un poligono convesso. Supponiamo che (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n sia la sequenza di coordinate di tutti i vertici vicini di un poligono che non ha autointersezioni. In questo caso, la sua area viene calcolata utilizzando la seguente formula:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), dove (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
