Triangolo, quadrato, esagono: queste figure sono note a quasi tutti. Ma non tutti sanno cos'è un poligono regolare. Ma queste sono tutte le stesse forme geometriche. Un poligono regolare è uno che ha angoli e lati uguali. Ci sono molte di queste figure, ma hanno tutte le stesse proprietà e le stesse formule si applicano ad esse.
Proprietà dei poligoni regolari
Qualsiasi poligono regolare, quadrato o ottagono, può essere inscritto in un cerchio. Questa proprietà di base viene spesso utilizzata durante la costruzione di una figura. Inoltre, un cerchio può anche essere inscritto in un poligono. In questo caso, il numero dei punti di contatto sarà uguale al numero dei suoi lati. È importante che un cerchio inscritto in un poligono regolare abbia un centro comune con esso. Queste figure geometriche sono soggette agli stessi teoremi. Qualsiasi latodi un n-gon regolare è rapportato al raggio R della circonferenza circoscritta ad esso, pertanto può essere calcolato con la seguente formula: a=2R ∙ sin180°. Attraverso il raggio del cerchio, puoi trovare non solo i lati, ma anche il perimetro del poligono.
Come trovare il numero di lati di un poligono regolare
Qualsiasi n-gon regolare consiste in un certo numero di segmenti uguali tra loro, che, quando collegati, formano una linea chiusa. In questo caso, tutti gli angoli della figura formata hanno lo stesso valore. I poligoni sono divisi in semplici e complessi. Il primo gruppo comprende un triangolo e un quadrato. I poligoni complessi hanno più lati. Includono anche figure a forma di stella. Per poligoni regolari complessi, i lati si trovano inscrivendoli in un cerchio. Diamo una prova. Disegna un poligono regolare con un numero arbitrario di lati n. Descrivi un cerchio attorno ad esso. Specificare il raggio R. Ora immagina che sia dato un certo n-gon. Se i punti dei suoi angoli giacciono su un cerchio e sono uguali tra loro, allora i lati possono essere trovati con la formula: a=2R ∙ sinα: 2.
Trovare il numero di lati di un triangolo regolare inscritto
Un triangolo equilatero è un poligono regolare. Ad esso si applicano le stesse formule del quadrato e dell'n-gon. Un triangolo sarà considerato corretto se ha i lati della stessa lunghezza. In questo caso, gli angoli sono 60⁰. Costruisci un triangolo con una data lunghezza del lato a. Conoscendo la sua mediana e altezza,puoi trovare il valore dei suoi lati. Per fare ciò, useremo il metodo per trovare attraverso la formula a \u003d x: cosα, dove x è la mediana o l' altezza. Poiché tutti i lati del triangolo sono uguali, otteniamo a=b=c. Allora la seguente affermazione sarà vera a=b=c=x: cosα. Allo stesso modo, puoi trovare il valore dei lati in un triangolo isoscele, ma x sarà l' altezza data. Allo stesso tempo, dovrebbe essere proiettato rigorosamente sulla base della figura. Quindi, conoscendo l' altezza x, troviamo il lato a di un triangolo isoscele usando la formula a \u003d b \u003d x: cosα. Dopo aver trovato il valore di a, puoi calcolare la lunghezza della base c. Applichiamo il teorema di Pitagora. Cercheremo il valore della metà della base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Allora c=2xtanα. Ecco un modo semplice per trovare il numero di lati di qualsiasi poligono inscritto.
Calcola i lati di un quadrato inscritto in un cerchio
Come qualsiasi altro poligono regolare inscritto, un quadrato ha lati e angoli uguali. Le stesse formule si applicano ad esso come al triangolo. Puoi calcolare i lati di un quadrato usando il valore della diagonale. Consideriamo questo metodo in modo più dettagliato. È noto che la diagonale divide in due l'angolo. Inizialmente, il suo valore era di 90 gradi. Quindi, dopo la divisione, si formano due triangoli rettangoli. I loro angoli alla base saranno di 45 gradi. Di conseguenza, ciascun lato del quadrato sarà uguale, ovvero: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, dove e è la diagonale del quadrato o la base di il triangolo rettangolo formato dopo la divisione. Non è l'unico modotrovare i lati di un quadrato. Iscriviamo questa figura in un cerchio. Conoscendo il raggio di questo cerchio R, troviamo il lato del quadrato. Lo calcoleremo come segue a4=R√2. I raggi dei poligoni regolari sono calcolati dalla formula R=a: 2tg (360o: 2n), dove a è la lunghezza del lato.
Come calcolare il perimetro di un n-gon
Il perimetro di un n-gon è la somma di tutti i suoi lati. È facile calcolarlo. Per fare questo, devi conoscere i valori di tutte le parti. Per alcuni tipi di poligoni esistono formule speciali. Ti permettono di trovare il perimetro molto più velocemente. È noto che qualsiasi poligono regolare ha lati uguali. Pertanto, per calcolarne il perimetro, è sufficiente conoscerne almeno uno. La formula dipenderà dal numero di lati della figura. In generale, si presenta così: P \u003d an, dove a è il valore del lato e n è il numero di angoli. Ad esempio, per trovare il perimetro di un ottagono regolare di lato 3 cm, devi moltiplicarlo per 8, ovvero P=3 ∙ 8=24 cm Per un esagono di lato 5 cm, calcoliamo come segue: P=5 ∙ 6=30 cm E così per ogni poligono.
Trovare il perimetro di un parallelogramma, un quadrato e un rombo
A seconda di quanti lati ha un poligono regolare, viene calcolato il suo perimetro. Questo rende il compito molto più semplice. Infatti, a differenza di altre figure, in questo caso non è necessario cercarne tutti i lati, ne basta uno solo. Per lo stesso principio, troviamo il perimetro aquadrangoli, cioè un quadrato e un rombo. Nonostante si tratti di cifre diverse, la formula per esse è la stessa P=4a, dove a è il lato. Facciamo un esempio. Se il lato di un rombo o di un quadrato è 6 cm, troviamo il perimetro come segue: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Un parallelogramma ha solo i lati opposti. Pertanto, il suo perimetro si trova utilizzando un metodo diverso. Quindi, dobbiamo conoscere la lunghezza a e la larghezza b della figura. Quindi applichiamo la formula P=(a + c) ∙ 2. Un parallelogramma, in cui tutti i lati e gli angoli tra loro sono uguali, è chiamato rombo.
Trovare il perimetro di un triangolo equilatero e rettangolo
Il perimetro di un triangolo equilatero regolare si trova con la formula P=3a, dove a è la lunghezza del lato. Se è sconosciuto, può essere trovato attraverso la mediana. In un triangolo rettangolo solo due lati sono uguali. La base può essere trovata attraverso il teorema di Pitagora. Dopo che i valori di tutti e tre i lati sono diventati noti, calcoliamo il perimetro. Può essere trovato applicando la formula P \u003d a + b + c, dove a e b sono lati uguali e c è la base. Ricorda che in un triangolo isoscele a \u003d b \u003d a, quindi, a + b \u003d 2a, quindi P \u003d 2a + c. Ad esempio, il lato di un triangolo isoscele è 4 cm, trova la sua base e il suo perimetro. Calcoliamo il valore dell'ipotenusa usando il teorema di Pitagora c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Ora calcoliamo il perimetro Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Come trovare gli angoli di un poligono regolare
Poligono regolaresi verifica nella nostra vita ogni giorno, ad esempio un normale quadrato, triangolo, ottagono. Sembrerebbe che non ci sia niente di più facile che costruire da soli questa figura. Ma questo è solo a prima vista. Per costruire qualsiasi n-gon, devi conoscere il valore dei suoi angoli. Ma come li trovi? Anche gli scienziati dell'antichità hanno cercato di costruire poligoni regolari. Hanno indovinato di inserirli in cerchi. E poi su di esso sono stati segnati i punti necessari, collegati da linee rette. Per le figure semplici, il problema costruttivo è stato risolto. Sono state ottenute formule e teoremi. Ad esempio, Euclide nella sua famosa opera "L'inizio" era impegnato nella risoluzione di problemi per 3, 4, 5, 6 e 15 gon. Ha trovato il modo di costruirli e trovare angoli. Vediamo come farlo per un 15-gon. Per prima cosa devi calcolare la somma dei suoi angoli interni. È necessario utilizzare la formula S=180⁰(n-2). Quindi, ci viene dato un 15-gon, il che significa che il numero n è 15. Sostituiamo i dati che conosciamo nella formula e otteniamo S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Abbiamo trovato la somma di tutti gli angoli interni di un 15-gon. Ora dobbiamo ottenere il valore di ciascuno di essi. Ci sono 15 angoli in totale Facciamo il calcolo 2340⁰: 15=156⁰. Ciò significa che ogni angolo interno è 156⁰, ora usando un righello e una bussola, puoi costruire un normale 15-gon. Ma che dire degli n-gon più complessi? Per secoli, gli scienziati hanno lottato per risolvere questo problema. Fu trovato solo nel XVIII secolo da Carl Friedrich Gauss. È stato in grado di costruire un 65537-gon. Da allora, il problema è ufficialmente considerato completamente risolto.
Calcolo degli angoli di n-goniin radianti
Certo, ci sono diversi modi per trovare gli angoli dei poligoni. Molto spesso sono calcolati in gradi. Ma puoi anche esprimerli in radianti. Come farlo? È necessario procedere come segue. Per prima cosa, scopriamo il numero di lati di un poligono regolare, quindi sottraiamo da esso 2. Quindi, otteniamo il valore: n - 2. Moltiplichiamo la differenza trovata per il numero n ("pi"=3, 14). Ora resta solo da dividere il prodotto risultante per il numero di angoli nell'n-gon. Considera questi calcoli usando l'esempio della stessa quindicina. Quindi, il numero n è 15. Applica la formula S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Questo, ovviamente, non è l'unico modo per calcolare l'angolo in radianti. Puoi semplicemente dividere la dimensione dell'angolo in gradi per il numero 57, 3. Dopotutto, tanti gradi equivalgono a un radiante.
Calcola il valore degli angoli in gradi
Oltre a gradi e radianti, puoi provare a trovare il valore degli angoli di un poligono regolare in gradi. Questo viene fatto nel modo seguente. Sottrarre 2 dal numero totale di angoli, dividere la differenza risultante per il numero di lati di un poligono regolare. Moltiplichiamo il risultato trovato per 200. A proposito, un'unità di misura degli angoli come i chicchi di grandine non viene praticamente utilizzata.
Calcolo degli angoli esterni di n-gons
Per qualsiasi poligono regolare, ad eccezione di quello interno, puoi anche calcolare l'angolo esterno. Il suo valore si trova allo stesso modo delle altre figure. Quindi, per trovare l'angolo esterno di un poligono regolare, è necessarioconoscere il significato dell'interiorità. Inoltre, sappiamo che la somma di questi due angoli è sempre 180 gradi. Pertanto, eseguiamo i calcoli come segue: 180⁰ meno il valore dell'angolo interno. Troviamo la differenza. Sarà uguale al valore dell'angolo adiacente ad esso. Ad esempio, l'angolo interno di un quadrato è di 90 gradi, quindi l'angolo esterno sarà 180⁰ - 90⁰=90⁰. Come possiamo vedere, non è difficile trovarlo. L'angolo esterno può assumere un valore compreso tra +180⁰ e -180⁰, rispettivamente.
