Conoscere la distanza da un punto ad un piano o ad una retta permette di calcolare il volume e la superficie delle figure nello spazio. Il calcolo di questa distanza in geometria viene eseguito utilizzando le equazioni corrispondenti per gli oggetti geometrici specificati. Nell'articolo mostreremo quali formule possono essere utilizzate per determinarlo.
Equazioni lineari e piane
Prima di fornire le formule per determinare la distanza da un punto ad un piano e ad una retta, mostriamo quali equazioni descrivono questi oggetti.
Per definire un punto, viene utilizzato un insieme di coordinate nel dato sistema di assi di coordinate. Qui considereremo solo il sistema rettangolare cartesiano in cui gli assi hanno gli stessi vettori unitari e sono tra loro perpendicolari. Su un piano, un punto arbitrario è descritto da due coordinate, nello spazio - da tre.
Diversi tipi di equazioni vengono utilizzati per definire una retta. In conformità con l'argomento dell'articolo, presentiamosolo due di loro, che sono usati nello spazio bidimensionale per definire le linee.
Equazione vettoriale. Ha la seguente notazione:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Il primo termine qui rappresenta le coordinate di un punto noto che giace sulla linea. Il secondo termine sono le coordinate del vettore di direzione moltiplicate per un numero arbitrario λ.
Equazione generale. La sua notazione è la seguente:
LAx + SIy + C=0;
dove A, B, C sono alcuni coefficienti.
L'equazione generale è usata più spesso per determinare le linee su un piano, tuttavia, per trovare la distanza da un punto a una linea su un piano, è più conveniente lavorare con un'espressione vettoriale.
Un piano nello spazio tridimensionale può anche essere scritto in diversi modi matematici. Tuttavia, molto spesso nei problemi c'è un'equazione generale, che è scritta come segue:
LAx + SIy + Cz + D=0.
Il vantaggio di questa notazione rispetto alle altre è che contiene esplicitamente le coordinate di un vettore perpendicolare al piano. Questo vettore è chiamato guida per esso, coincide con la direzione della normale e le sue coordinate sono uguali a (A; B; C).
Nota che l'espressione sopra coincide con la forma di scrittura di un'equazione generale per una retta nello spazio bidimensionale, quindi quando risolvi problemi, dovresti stare attento a non confondere questi oggetti geometrici.
Distanza tra punto e linea
Mostriamo come calcolare la distanza tra una retta epunto nello spazio bidimensionale.
Ci sia un punto Q(x1; y1) e una retta data da:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
La distanza tra una retta e un punto è intesa come la lunghezza di un segmento perpendicolare a tale retta, calato su di essa dal punto Q.
Prima di calcolare questa distanza, dovresti sostituire le coordinate Q in questa equazione. Se lo soddisfano, allora Q appartiene alla retta data e la distanza corrispondente è uguale a zero. Se le coordinate del punto non portano all'uguaglianza, la distanza tra gli oggetti geometrici è diversa da zero. Può essere calcolato usando la formula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Qui P è un punto arbitrario della retta, che è l'inizio del vettore PQ¯. Il vettore u¯ è un segmento guida per una retta, cioè le sue coordinate sono (a; b).
L'utilizzo di questa formula richiede la capacità di calcolare il prodotto incrociato nel numeratore.
Problema con un punto e una linea
Diciamo che devi trovare la distanza tra Q(-3; 1) e una retta che soddisfi l'equazione:
y=5x -2.
Sostituendo le coordinate di Q nell'espressione, possiamo assicurarci che Q non si trovi sulla retta. Puoi applicare la formula per d data nel paragrafo precedente se rappresenti questa equazione in forma vettoriale. Facciamo così:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Ora prendiamo un punto qualsiasi su questa linea, per esempio (0; -2), e costruiamo un vettore che inizia in esso e finisce in Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Ora applicando la formula per determinare la distanza, otteniamo:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distanza dal punto all'aereo
Come nel caso di una retta, la distanza tra un piano e un punto nello spazio è intesa come la lunghezza del segmento, che da un dato punto si abbassa perpendicolarmente al piano e lo interseca.
Nello spazio, un punto è dato da tre coordinate. Se sono uguali a (x1; y1; z1), allora la distanza tra piano e quel punto possono essere calcolati usando la formula:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ RE|/√(LA2+B2+C2).
Nota che usando la formula puoi trovare solo la distanza dall'aereo alla linea. Per trovare le coordinate del punto in cui un segmento perpendicolare interseca un piano, è necessario scrivere un'equazione per la retta a cui appartiene questo segmento, quindi trovare un punto comune per questa retta e un dato piano.
Problema con un aereo e un punto
Trova la distanza da un punto a un piano se è noto che il punto ha coordinate (3; -1; 2) e il piano è dato da:
-y + 3z=0.
Per usare la formula corrispondente, scriviamo prima i coefficienti perdato piano. Poiché la variabile x e il termine libero sono assenti, i coefficienti A e D sono pari a zero. Abbiamo:
LA=0; B=-1; C=3; D=0.
È facile mostrare che questo piano passa per l'origine e l'asse x gli appartiene.
Sostituisci le coordinate del punto e i coefficienti del piano nella formula della distanza d, otteniamo:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Nota che se modifichi la coordinata x di un punto, la distanza d non cambierà. Questo fatto significa che l'insieme dei punti (x; -1; 2) forma una retta parallela al piano dato.
