Spesso nella vita ci troviamo di fronte alla necessità di valutare le possibilità che si verifichi un evento. Che valga la pena acquistare un biglietto della lotteria o meno, quale sarà il sesso del terzo figlio in famiglia, se domani il tempo sarà sereno o pioverà di nuovo - ci sono innumerevoli esempi del genere. Nel caso più semplice, dovresti dividere il numero di esiti favorevoli per il numero totale di eventi. Se ci sono 10 biglietti vincenti nella lotteria e ce ne sono 50 in totale, le possibilità di ottenere un premio sono 10/50=0,2, ovvero 20 contro 100. Ma cosa succede se ci sono diversi eventi e sono vicini imparentato? In questo caso, non saremo più interessati alla probabilità semplice, ma alla probabilità condizionata. Qual è questo valore e come può essere calcolato - questo sarà discusso nel nostro articolo.
Concetto
La probabilità condizionale è la possibilità che si verifichi un evento particolare, dato che un altro evento correlato è già accaduto. Considera un semplice esempio conlanciando una moneta. Se non c'è ancora stato un pareggio, le possibilità di ottenere testa o croce saranno le stesse. Ma se per cinque volte di seguito la moneta giacesse con lo stemma in alto, allora accettare di aspettarsi la 6a, la 7a e ancor di più la decima ripetizione di un tale risultato sarebbe illogico. Con ogni intestazione ripetuta, le possibilità che appaiano croce aumentano e prima o poi cadranno.
Formula di probabilità condizionale
Scopriamo ora come viene calcolato questo valore. Indichiamo il primo evento come B e il secondo come A. Se le probabilità di occorrenza di B sono diverse da zero, allora sarà valida la seguente uguaglianza:
P (LA|B)=P (AB) / P (B), dove:
- P (A|B) – probabilità condizionata di esito A;
- P (AB) - la probabilità che si verifichino congiuntamente gli eventi A e B;
- P (B) – probabilità dell'evento B.
Trasformando leggermente questo rapporto, otteniamo P (AB)=P (A|B)P (B). E se applichiamo il metodo di induzione, possiamo ricavare la formula del prodotto e utilizzarla per un numero arbitrario di eventi:
P (LA1, LA2, LA3, …LA p )=P (LA1|LA2…LAp )LA(LA 2|LA3…LAp)P (LA 3|LA 4…LAp)… R (LAp-1 |LAp)R (LAp).
Pratica
Per facilitare la comprensione di come viene calcolata la probabilità condizionata di un evento, diamo un'occhiata a un paio di esempi. Supponiamo che ci sia un vaso contenente 8 cioccolatini e 7 mentine. Hanno le stesse dimensioni e sono casuali.due di loro vengono estratti in successione. Quali sono le possibilità che entrambi siano cioccolato? Introduciamo la notazione. Lascia che il risultato A significhi che la prima caramella è di cioccolato, il risultato B è la seconda caramella di cioccolato. Quindi ottieni quanto segue:
P (LA)=RE (SI)=8 / 15, P (LA|B)=RE (SI|LA)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Consideriamo un altro caso. Supponiamo che ci sia una famiglia di due bambini e sappiamo che almeno un bambino è una femmina.
Qual è la probabilità condizionata che questi genitori non abbiano ancora figli? Come nel caso precedente, iniziamo con la notazione. Sia P(B) la probabilità che ci sia almeno una femmina nella famiglia, P(A|B) sia la probabilità che anche il secondo figlio sia femmina, P(AB) le probabilità che ci siano due femmine in la famiglia. Ora facciamo i calcoli. In totale possono esserci 4 diverse combinazioni del sesso dei bambini, e in questo caso, solo in un caso (quando ci sono due maschi in famiglia), non ci sarà una femmina tra i bambini. Pertanto, la probabilità P (B)=3/4 e P (AB)=1/4. Quindi, seguendo la nostra formula, otteniamo:
P (LA|B)=1/4: 3/4=1/3.
Il risultato può essere interpretato come segue: se non conoscessimo il sesso di uno dei bambini, le probabilità che due ragazze sarebbero 25 contro 100. Ma poiché sappiamo che un bambino è una ragazza, il probabilità che la famiglia dei ragazzi no, salga a un terzo.
