Disequazioni algebriche o loro sistemi a coefficienti razionali le cui soluzioni si cercano in numeri interi o interi. Di norma, il numero di incognite nelle equazioni diofantee è maggiore. Pertanto, sono anche conosciute come disuguaglianze indefinite. Nella matematica moderna, il concetto di cui sopra viene applicato alle equazioni algebriche le cui soluzioni sono ricercate negli interi algebrici di qualche estensione del campo delle variabili Q-razionali, del campo delle variabili p-adiche, ecc.
Le origini di queste disuguaglianze
Lo studio delle equazioni diofantee è al confine tra teoria dei numeri e geometria algebrica. Trovare soluzioni in variabili intere è uno dei più antichi problemi matematici. Già all'inizio del secondo millennio aC. gli antichi babilonesi riuscirono a risolvere sistemi di equazioni con due incognite. Questo ramo della matematica fiorì maggiormente nell'antica Grecia. L'aritmetica di Diofanto (ca. III secolo d. C.) è una fonte significativa e principale che contiene vari tipi e sistemi di equazioni.
In questo libro Diofanto prevedeva una serie di metodi per studiare le disuguaglianze di seconda e terzagradi che furono completamente sviluppati nel 19° secolo. La creazione della teoria dei numeri razionali da parte di questo ricercatore dell'antica Grecia ha portato all'analisi di soluzioni logiche a sistemi indefiniti, che sono sistematicamente seguite nel suo libro. Sebbene il suo lavoro contenga soluzioni a specifiche equazioni diofantee, c'è motivo di credere che avesse anche familiarità con diversi metodi generali.
Lo studio di queste disuguaglianze è solitamente associato a serie difficoltà. A causa del fatto che contengono polinomi con coefficienti interi F (x, y1, …, y). Sulla base di ciò, sono state tratte le conclusioni che non esiste un unico algoritmo che potrebbe essere utilizzato per determinare per ogni data x se l'equazione F (x, y1, …., y ). La situazione è risolvibile per y1, …, y . Si possono scrivere esempi di tali polinomi.
La disuguaglianza più semplice
ax + by=1, dove aeb sono numeri relativamente interi e primi, ha un numero enorme di esecuzioni (se x0, y0 si forma il risultato, quindi la coppia di variabili x=x0 + b e y=y0 -an, dove n è arbitrario, sarà anche considerata una disuguaglianza). Un altro esempio di equazioni diofantee è x2 + y2 =z2. Le soluzioni integrali positive di questa disuguaglianza sono le lunghezze dei lati piccoli x, y e dei triangoli rettangoli, così come l'ipotenusa z con dimensioni dei lati interi. Questi numeri sono conosciuti come numeri pitagorici. Tutte le terzine rispetto al primo indicatole variabili sopra sono date da x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, dove m e n sono numeri interi e primi (m>n>0).
Diofante nella sua Aritmetica cerca soluzioni razionali (non necessariamente integrali) di tipi speciali delle sue disuguaglianze. Una teoria generale per risolvere le equazioni diofantee di primo grado fu sviluppata da C. G. Baschet nel XVII secolo. Altri scienziati all'inizio del 19° secolo studiarono principalmente disuguaglianze simili come ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, dove a, b, c, d, e, e f sono generali, eterogenei, con due incognite di secondo grado. Lagrange ha utilizzato le frazioni continue nel suo studio. Gauss per le forme quadratiche ha sviluppato una teoria generale alla base di alcuni tipi di soluzioni.
Nello studio di queste disuguaglianze di secondo grado, progressi significativi sono stati compiuti solo nel XX secolo. A. Thue ha scoperto che l'equazione diofantea a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, dove n≧3, a0, …, a , c sono numeri interi e a0tn + …+ a non può avere un numero infinito di soluzioni intere. Tuttavia, il metodo di Thue non è stato sviluppato correttamente. A. Baker ha creato teoremi efficaci che forniscono stime sulle prestazioni di alcune equazioni di questo tipo. BN Delaunay ha proposto un altro metodo di indagine applicabile a una classe più ristretta di queste disuguaglianze. In particolare, la forma ax3 + y3 =1 è completamente risolvibile in questo modo.
Equazioni diofantee: metodi di soluzione
La teoria di Diofanto ha molte direzioni. Quindi, un problema ben noto in questo sistema è l'ipotesi che non esista una soluzione non banale delle equazioni diofantee xn + y =z n se n ≧ 3 (domanda di Fermat). Lo studio degli adempimenti interi della disuguaglianza è una naturale generalizzazione del problema delle triplette pitagoriche. Eulero ottenne una soluzione positiva del problema di Fermat per n=4. In virtù di questo risultato, si riferisce alla dimostrazione dell'intero mancante, studi diversi da zero dell'equazione se n è un numero primo dispari.
Lo studio sulla decisione non è stato completato. Le difficoltà con la sua implementazione sono legate al fatto che la semplice fattorizzazione nell'anello degli interi algebrici non è unica. La teoria dei divisori in questo sistema per molte classi di esponenti primi n permette di confermare la validità del teorema di Fermat. Pertanto, l'equazione diofantea lineare con due incognite è soddisfatta dai metodi e dai modi esistenti.
Tipi e tipi di attività descritte
L'aritmetica degli anelli di interi algebrici è usata anche in molti altri problemi e soluzioni di equazioni diofantee. Ad esempio, tali metodi sono stati applicati quando si soddisfano le disuguaglianze della forma N(a1 x1 +…+ a x)=m, dove N(a) è la norma di a, e x1, …, xn Si trovano variabili razionali integrali. Questa classe include l'equazione di Pell x2–dy2=1.
I valori a1, …, a che appaiono, queste equazioni sono divise in due tipi. Il primo tipo - le cosiddette forme complete - comprende equazioni in cui tra a vi sono m numeri linearmente indipendenti nel campo delle variabili razionali Q, dove m=[Q(a1, …, a):Q], in cui esiste un grado di esponenti algebrici Q (a1, …, a ) su Q. Le specie incomplete sono quelle in cui il numero massimo di a i inferiore a m.
I moduli completi sono più semplici, il loro studio è completo e tutte le soluzioni possono essere descritte. Il secondo tipo, specie incompleta, è più complicato e lo sviluppo di una tale teoria non è stato ancora completato. Tali equazioni sono studiate utilizzando approssimazioni diofantee, che includono la disuguaglianza F(x, y)=C, dove F (x, y) è un polinomio omogeneo irriducibile di grado n≧3. Pertanto, possiamo assumere che yi→∞. Di conseguenza, se yi è abbastanza grande, allora la disuguaglianza contraddirà il teorema di Thue, Siegel e Roth, da cui segue che F(x, y)=C, dove F è una forma di terzo grado o superiore, l'irriducibile non può avere un numero infinito di soluzioni.
Come risolvere un'equazione diofantea?
Questo esempio è una classe piuttosto ristretta tra tutte. Ad esempio, nonostante la loro semplicità, x3 + y3 + z3=N e x2 +y 2 +z2 +u2 =N non sono inclusi in questa classe. Lo studio delle soluzioni è un ramo piuttosto attentamente studiato delle equazioni diofantine, in cui la base è la rappresentazione di forme quadratiche di numeri. Lagrangecreò un teorema che dice che l'adempimento esiste per tutti gli N naturali. Qualsiasi numero naturale può essere rappresentato come la somma di tre quadrati (teorema di Gauss), ma non dovrebbe essere della forma 4a (8K- 1), dove a e k sono esponenti interi non negativi.
Soluzioni razionali o integrali di un sistema di un'equazione diofantea di tipo F (x1, …, x)=a, dove F (x 1, …, x) è una forma quadratica con coefficienti interi. Quindi, secondo il teorema di Minkowski-Hasse, la disuguaglianza ∑aijxixj=b ij e b è razionale, ha una soluzione integrale in numeri reali e p-adici per ogni numero primo p solo se è risolvibile in questa struttura.
A causa delle difficoltà intrinseche, lo studio dei numeri con forme arbitrarie di terzo grado e superiori è stato studiato in misura minore. Il metodo di esecuzione principale è il metodo delle somme trigonometriche. In questo caso, il numero di soluzioni dell'equazione è scritto esplicitamente in termini di integrale di Fourier. Successivamente, il metodo dell'ambiente viene utilizzato per esprimere il numero di adempimento della disuguaglianza delle corrispondenti congruenze. Il metodo delle somme trigonometriche dipende dalle caratteristiche algebriche delle disuguaglianze. Esistono numerosi metodi elementari per risolvere le equazioni diofantee lineari.
Analisi diofantea
Dipartimento di matematica, la cui materia è lo studio delle soluzioni integrali e razionali di sistemi di equazioni di algebra mediante metodi geometrici, dallo stessosfere. Nella seconda metà del XIX secolo, l'emergere di questa teoria dei numeri portò allo studio delle equazioni diofantee da un campo arbitrario con coefficienti e le soluzioni furono considerate sia in esso che nei suoi anelli. Il sistema delle funzioni algebriche sviluppato parallelamente ai numeri. L'analogia di fondo tra i due, sottolineata da D. Hilbert e, in particolare, da L. Kronecker, ha portato alla costruzione uniforme di vari concetti aritmetici, che di solito vengono chiamati globali.
Ciò è particolarmente evidente se le funzioni algebriche studiate su un campo finito di costanti sono una variabile. Concetti come teoria dei campi di classe, divisore e ramificazione e risultati sono un buon esempio di quanto sopra. Questo punto di vista è stato adottato nel sistema delle disuguaglianze diofantee solo più tardi, e la ricerca sistematica non solo con coefficienti numerici, ma anche con coefficienti che sono funzioni, è iniziata solo negli anni '50. Uno dei fattori decisivi in questo approccio è stato lo sviluppo della geometria algebrica. Lo studio simultaneo dei campi dei numeri e delle funzioni, che sorgono come due aspetti ugualmente importanti della stessa materia, non solo ha dato risultati eleganti e convincenti, ma ha portato al reciproco arricchimento dei due temi.
Nella geometria algebrica, la nozione di varietà è sostituita da un insieme non invariante di disuguaglianze su un dato campo K, e le loro soluzioni sono sostituite da punti razionali con valori in K o nella sua estensione finita. Si può quindi dire che il problema fondamentale della geometria diofantea è lo studio dei punti razionalidi un insieme algebrico X(K), mentre X sono determinati numeri nel campo K. L'esecuzione di interi ha un significato geometrico nelle equazioni diofantee lineari.
Studi sulla disuguaglianza e opzioni di esecuzione
Quando si studiano punti razionali (o integrali) su varietà algebriche, sorge il primo problema, che è la loro esistenza. Il decimo problema di Hilbert è formulato come il problema di trovare un metodo generale per risolvere questo problema. Nel processo di creazione di una definizione esatta dell'algoritmo e dopo che è stato dimostrato che non esistono tali esecuzioni per un gran numero di problemi, il problema ha acquisito un ovvio risultato negativo e la domanda più interessante è la definizione di classi di equazioni diofantee per cui esiste il sistema di cui sopra. L'approccio più naturale, da un punto di vista algebrico, è il cosiddetto principio di Hasse: il campo iniziale K viene studiato insieme ai suoi completamenti Kv su tutte le possibili stime. Poiché X(K)=X(Kv) sono una condizione necessaria per l'esistenza, e il punto K tiene conto che l'insieme X(Kv) non è vuoto per tutti v.
L'importanza sta nel fatto che riunisce due problemi. Il secondo è molto più semplice, è risolvibile con un noto algoritmo. Nel caso particolare in cui la varietà X è proiettiva, il lemma di Hansel e le sue generalizzazioni rendono possibile un'ulteriore riduzione: il problema può essere ridotto allo studio di punti razionali su un campo finito. Quindi decide di costruire un concetto attraverso una ricerca coerente o metodi più efficaci.
Ultimouna considerazione importante è che gli insiemi X(Kv) non sono vuoti per tutti tranne un numero finito di v, quindi il numero di condizioni è sempre finito e possono essere verificate efficacemente. Tuttavia, il principio di Hasse non si applica alle curve di grado. Ad esempio, 3x3 + 4y3=5 ha punti in tutti i campi numerici p-adici e nel sistema dei numeri reali, ma non ha punti razionali.
Questo metodo è servito come punto di partenza per costruire un concetto che descrive le classi dei principali spazi omogenei delle varietà abeliane per eseguire una "deviazione" dal principio di Hasse. È descritto nei termini di una struttura speciale che può essere associata a ciascuna varietà (gruppo Tate-Shafarevich). La principale difficoltà della teoria risiede nel fatto che i metodi per il calcolo dei gruppi sono difficili da ottenere. Questo concetto è stato esteso anche ad altre classi di varietà algebriche.
Cerca un algoritmo per soddisfare le disuguaglianze
Un' altra idea euristica usata nello studio delle equazioni diofantee è che se il numero di variabili coinvolte in un insieme di disuguaglianze è grande, allora il sistema di solito ha una soluzione. Tuttavia, questo è molto difficile da dimostrare per ogni caso particolare. L'approccio generale a problemi di questo tipo utilizza la teoria analitica dei numeri e si basa su stime per somme trigonometriche. Questo metodo è stato originariamente applicato a tipi speciali di equazioni.
Tuttavia, in seguito fu dimostrato con il suo aiuto che se la forma di un grado dispari è F, in de n variabili e con coefficienti razionali, allora n è sufficientemente grande rispetto a d, quindi l'ipersuperficie proiettiva F=0 ha un punto razionale Secondo la congettura di Artin, questo risultato è vero anche se n > d2. Questo è stato dimostrato solo per le forme quadratiche. Problemi simili possono essere richiesti anche per altri campi. Il problema centrale della geometria diofantea è la struttura dell'insieme dei punti interi o razionali e il loro studio, e la prima domanda da chiarire è se questo insieme sia finito. In questo problema, la situazione ha solitamente un numero finito di esecuzioni se il grado del sistema è molto maggiore del numero di variabili. Questo è il presupposto di base.
Disequazioni su linee e curve
Il gruppo X(K) può essere rappresentato come somma diretta di una struttura libera di rango r e di un gruppo finito di ordine n. Dagli anni '30 è stata studiata la questione se questi numeri siano limitati sull'insieme di tutte le curve ellittiche su un dato campo K. La limitatezza della torsione n è stata dimostrata negli anni settanta. Ci sono curve di rango arbitrario alto nel caso funzionale. Nel caso numerico, non c'è ancora risposta a questa domanda.
Infine, la congettura di Mordell afferma che il numero di punti integrali è finito per una curva del genere g>1. Nel caso funzionale, questo concetto è stato dimostrato da Yu. I. Manin nel 1963. Lo strumento principale utilizzato per dimostrare i teoremi di finitezza nella geometria diofantea è l' altezza. Delle varietà algebriche, le dimensioni superiori a una sono abelianele varietà, che sono gli analoghi multidimensionali delle curve ellittiche, sono state le più studiate.
A. Weil ha generalizzato il teorema sulla finitezza del numero di generatori di un gruppo di punti razionali a varietà abeliane di qualsiasi dimensione (il concetto di Mordell-Weil), estendendolo. Negli anni '60 apparve la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, migliorando questa e le funzioni di gruppo e zeta della varietà. L'evidenza numerica supporta questa ipotesi.
Problema di risolvibilità
Il problema di trovare un algoritmo che possa essere utilizzato per determinare se qualsiasi equazione diofantea ha una soluzione. Una caratteristica essenziale del problema posto è la ricerca di un metodo universale che sia adatto a qualsiasi disuguaglianza. Tale metodo consentirebbe anche di risolvere i sistemi di cui sopra, poiché equivale a P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 o p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Il problema di trovare un modo così universale per trovare soluzioni per le disuguaglianze lineari negli interi è stato posto da D. Gilbert.
Agli inizi degli anni '50 apparvero i primi studi volti a dimostrare l'inesistenza di un algoritmo per la risoluzione delle equazioni diofantee. In quel momento apparve la congettura di Davis, secondo la quale qualsiasi insieme enumerabile appartiene anche allo scienziato greco. Perché esempi di insiemi algoritmicamente indecidibili sono noti, ma sono ricorsivamente enumerabili. Ne consegue che la congettura di Davis è vera e il problema della solubilità di queste equazioniha un'esecuzione negativa.
Dopodiché, per la congettura di Davis, resta da dimostrare che esiste un metodo per trasformare una disuguaglianza che anche (o non aveva) allo stesso tempo una soluzione. È stato dimostrato che un tale cambiamento dell'equazione diofantea è possibile se ha le due proprietà di cui sopra: 1) in qualsiasi soluzione di questo tipo v ≦ uu; 2) per ogni k, c'è un'esecuzione con crescita esponenziale.
Un esempio di equazione diofantea lineare di questa classe ha completato la dimostrazione. Il problema dell'esistenza di un algoritmo per la risolvibilità e il riconoscimento di queste disuguaglianze nei numeri razionali è ancora considerata una questione importante e aperta che non è stata sufficientemente studiata.
