La teoria della probabilità funziona con variabili casuali. Per le variabili casuali esistono le cosiddette leggi di distribuzione. Tale legge descrive la sua variabile aleatoria con assoluta completezza. Tuttavia, quando si lavora con insiemi reali di variabili casuali, è spesso molto difficile stabilire immediatamente la legge della loro distribuzione e sono limitati a un certo insieme di caratteristiche numeriche. Ad esempio, il calcolo della media e della varianza di una variabile casuale è spesso molto utile.
Perché è necessario
Se l'essenza dell'aspettativa matematica è vicina al valore medio della quantità, allora in questo caso la dispersione racconta come i valori della nostra quantità siano sparsi attorno a questa aspettativa matematica. Ad esempio, se abbiamo misurato il QI di un gruppo di persone e vogliamo esaminare i risultati della misurazione (campione), l'aspettativa matematica mostrerà il valore medio approssimativo del quoziente di intelligenza per questo gruppo di persone e se calcoliamo la varianza del campione, scopriremo come i risultati sono raggruppati attorno all'aspettativa matematica: un gruppo vicino ad essa (piccola variazione del QI) o più uniformemente sull'intero intervallo dal risultato minimo al massimo (grande variazione e da qualche parte nel mezzo - aspettativa matematica).
Per calcolare la varianza, hai bisogno di una nuova caratteristica di una variabile casuale: la deviazione del valore dalla matematicaaspettando.
Deviazione
Per capire come calcolare la varianza, devi prima capire la deviazione. La sua definizione è la differenza tra il valore che assume una variabile casuale e la sua aspettativa matematica. In parole povere, per capire come viene "sparso" un valore, è necessario guardare come viene distribuita la sua deviazione. Cioè, sostituiamo il valore del valore con il valore della sua deviazione dal tappeto. aspettative ed esplorare la sua legge di distribuzione.
La legge di distribuzione di un discreto, cioè una variabile casuale che assume valori individuali, è scritta sotto forma di tabella, dove il valore del valore è correlato con la probabilità che si verifichi. Quindi, nella legge di distribuzione della deviazione, la variabile casuale sarà sostituita dalla sua formula, in cui c'è un valore (che ha mantenuto la sua probabilità) e la propria mat. aspettando.
Proprietà della legge di distribuzione della deviazione di una variabile casuale
Abbiamo scritto la legge di distribuzione per la deviazione di una variabile casuale. Da esso possiamo estrarre finora solo una caratteristica come l'aspettativa matematica. Per comodità, è meglio fare un esempio numerico.
Sia una legge di distribuzione di qualche variabile casuale: X - valore, p - probabilità.
Calcoliamo l'aspettativa matematica usando la formula e subito la deviazione.
Disegno di una nuova tabella di distribuzione delle deviazioni.
Calcoliamo anche qui le aspettative.
Risulta zero. C'è solo un esempio, ma sarà sempre così: non è difficile dimostrarlo nel caso generale. La formula per l'aspettativa matematica della deviazione può essere scomposta nella differenza tra le aspettative matematiche di una variabile casuale e, per quanto storta possa sembrare, l'aspettativa matematica del tappeto. aspettative (ricorsiva, però), che sono le stesse, quindi la loro differenza sarà zero.
Ci si aspetta: dopotutto, le deviazioni nel segno possono essere sia positive che negative, quindi in media dovrebbero dare zero.
Come calcolare la varianza di un caso discreto. quantità
Se opaco. è inutile calcolare l'aspettativa di deviazione, devi cercare qualcos' altro. Puoi semplicemente prendere i valori assoluti delle deviazioni (modulo); ma con i moduli, tutto non è così semplice, quindi le deviazioni vengono quadrate e quindi viene calcolata la loro aspettativa matematica. In re altà, questo è ciò che si intende quando si parla di come calcolare la varianza.
Ovvero, prendiamo le deviazioni, le quadramo e creiamo una tabella di deviazioni al quadrato e probabilità che corrispondono a variabili casuali. Questa è una nuova legge di distribuzione. Per calcolare l'aspettativa matematica, devi sommare i prodotti del quadrato della deviazione e della probabilità.
Formula più facile
Tuttavia, l'articolo iniziava con il fatto che la legge di distribuzione della variabile casuale iniziale è spesso sconosciuta. Quindi è necessario qualcosa di più leggero. In effetti, esiste un' altra formula che consente di calcolare la varianza campionaria utilizzando solo il tappetino.in attesa:
Dispersion - la differenza tra il tappetino. aspettativa del quadrato di una variabile aleatoria e, al contrario, del quadrato della sua mat. aspettando.
C'è una prova per questo, ma non ha senso presentarla qui, poiché non ha alcun valore pratico (e dobbiamo solo calcolare la varianza).
Come calcolare la varianza di una variabile casuale in serie variazionali
Nelle statistiche reali, è impossibile riflettere tutte le variabili casuali (perché, grosso modo, ce ne sono, di regola, un numero infinito). Pertanto, ciò che entra nello studio è il cosiddetto campione rappresentativo di una popolazione generale generale. E, poiché le caratteristiche numeriche di qualsiasi variabile casuale di una tale popolazione generale sono calcolate dal campione, sono chiamate campione: media campionaria, rispettivamente, varianza campionaria. Puoi calcolarlo allo stesso modo del solito (attraverso le deviazioni al quadrato).
Tuttavia, una tale dispersione è chiamata parziale. La formula della varianza imparziale sembra leggermente diversa. Di solito è richiesto per calcolarlo.
Piccola aggiunta
Un' altra caratteristica numerica è collegata alla dispersione. Serve anche a valutare come la variabile casuale si disperda attorno al suo tappetino. aspettative. Non c'è molta differenza nel modo in cui calcolare la varianza e la deviazione standard: quest'ultima è la radice quadrata della prima.
