Il cerchio è la figura principale della geometria, le cui proprietà sono considerate a scuola in terza media. Uno dei problemi tipici associati a un cerchio è trovare l'area di una parte di esso, che viene chiamata settore circolare. L'articolo fornisce formule per l'area di un settore e la lunghezza del suo arco, nonché un esempio del loro utilizzo per risolvere un problema specifico.
Il concetto di cerchio e cerchio
Prima di dare la formula per l'area di un settore di un cerchio, consideriamo qual è la figura indicata. Secondo la definizione matematica, un cerchio è inteso come tale figura su un piano, i cui punti sono tutti equidistanti da un punto (centro).
Quando si considera un cerchio, viene utilizzata la seguente terminologia:
- Raggio - un segmento che viene disegnato dal punto centrale alla curva del cerchio. Di solito è indicato dalla lettera R.
- Diametro è un segmento che collega due punti del cerchio, ma passa anche per il centro della figura. Di solito è indicato dalla lettera D.
- Arco fa parte di un cerchio curvo. Viene misurato in unità di lunghezza o utilizzando gli angoli.
Il cerchio è un' altra importante figura geometrica, è una raccolta di punti delimitata da un cerchio curvo.
Area e circonferenza del cerchio
I valori annotati nel titolo dell'articolo sono calcolati utilizzando due semplici formule. Sono elencati di seguito:
- Circonferenza: L=2piR.
- Area di un cerchio: S=piR2.
In queste formule, pi è una costante chiamata Pi. È irrazionale, cioè non può essere espresso esattamente come una semplice frazione. Pi è circa 3,1416.
Come puoi vedere dalle espressioni sopra, per calcolare l'area e la lunghezza è sufficiente conoscere solo il raggio del cerchio.
L'area del settore del cerchio e la lunghezza del suo arco
Prima di considerare le formule corrispondenti, ricordiamo che l'angolo in geometria è solitamente espresso in due modi principali:
- in gradi sessagesimali e una rotazione completa attorno al proprio asse è 360o;
- in radianti, espressi come frazioni di pi e relativi ai gradi dalla seguente equazione: 2pi=360o.
Il settore di un cerchio è una figura delimitata da tre linee: un arco di cerchio e due raggi posti alle estremità di questo arco. Un esempio di un settore circolare è mostrato nella foto sotto.
Fare un'idea di cosa sia un settore per un cerchio, è facilecapire come calcolarne l'area e la lunghezza dell'arco corrispondente. Si può vedere dalla figura sopra che l'arco del settore corrisponde all'angolo θ. Sappiamo che un cerchio completo corrisponde a 2pi radianti, quindi la formula per l'area di un settore circolare assumerà la forma: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Qui l'angolo θ è espresso in radianti. Una formula simile per l'area del settore, se l'angolo θ è misurato in gradi, sarà simile a questa: S1=piθR2 /360.
La lunghezza dell'arco che forma un settore si calcola con la formula: L1=θ2piR/(2pi)=θR. E se θ è noto in gradi, allora: L1=piθR/180.
Esempio di risoluzione dei problemi
Usiamo l'esempio di un semplice problema per mostrare come usare le formule per l'area di un settore di un cerchio e la lunghezza del suo arco.
È noto che la ruota ha 12 raggi. Quando la ruota compie un giro completo, copre una distanza di 1,5 metri. Qual è l'area racchiusa tra due raggi adiacenti della ruota e qual è la lunghezza dell'arco tra di loro?
Come puoi vedere dalle formule corrispondenti, per usarle devi conoscere due grandezze: il raggio del cerchio e l'angolo dell'arco. Il raggio può essere calcolato conoscendo la circonferenza della ruota, poiché la distanza percorsa da essa in un giro corrisponde esattamente ad essa. Abbiamo: 2Rpi=1.5, da cui: R=1.5/(2pi)=0.2387 metri. L'angolo tra i raggi più vicini può essere determinato conoscendo il loro numero. Supponendo che tutti i 12 raggi dividano il cerchio in modo uniforme in settori uguali, otteniamo 12 settori identici. Di conseguenza, la misura angolare dell'arco tra i due raggi è: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radianti.
Abbiamo trovato tutti i valori necessari, ora possono essere sostituiti nelle formule e calcolare i valori richiesti dalla condizione del problema. Otteniamo: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, o 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 mo 12,5 cm.
