Tutti i corpi che ci circondano sono in continuo movimento. Il movimento dei corpi nello spazio è osservato a tutti i livelli di scala, a partire dal movimento delle particelle elementari negli atomi della materia e termina con il movimento accelerato delle galassie nell'Universo. In ogni caso, il processo di movimento avviene con accelerazione. In questo articolo considereremo in dettaglio il concetto di accelerazione tangenziale e forniremo una formula con cui può essere calcolata.
Quantità cinematiche
Prima di parlare di accelerazione tangenziale, consideriamo quali quantità è consuetudine caratterizzare il movimento meccanico arbitrario dei corpi nello spazio.
Prima di tutto, questo è il percorso L. Mostra la distanza in metri, centimetri, chilometri e così via che il corpo ha percorso per un certo periodo di tempo.
La seconda caratteristica importante della cinematica è la velocità del corpo. A differenza del percorso, è una quantità vettoriale ed è diretta lungo la traiettoriamovimenti del corpo. La velocità determina la velocità di variazione delle coordinate spaziali nel tempo. La formula per calcolarlo è:
v¯=dL/dt
La velocità è la derivata temporale del percorso.
Infine, la terza caratteristica importante del movimento dei corpi è l'accelerazione. Secondo la definizione in fisica, l'accelerazione è una quantità che determina la variazione di velocità nel tempo. La formula può essere scritta come:
a¯=re¯/dt
Anche l'accelerazione, come la velocità, è una grandezza vettoriale, ma a differenza di essa, è diretta nella direzione del cambiamento di velocità. La direzione dell'accelerazione coincide anche con il vettore della forza risultante che agisce sul corpo.
Traiettoria e accelerazione
Molti problemi di fisica sono considerati nell'ambito del moto rettilineo. In questo caso, di regola, non parlano dell'accelerazione tangenziale del punto, ma lavorano con l'accelerazione lineare. Tuttavia, se il movimento del corpo non è lineare, la sua piena accelerazione può essere scomposta in due componenti:
- tangente;
- normale.
Nel caso del moto lineare, la componente normale è zero, quindi non parliamo dell'espansione vettoriale dell'accelerazione.
Quindi, la traiettoria del movimento determina in gran parte la natura e le componenti della piena accelerazione. La traiettoria del movimento è intesa come una linea immaginaria nello spazio lungo la quale si muove il corpo. Qualsiasiuna traiettoria curvilinea porta alla comparsa delle componenti di accelerazione diverse da zero sopra indicate.
Determinazione dell'accelerazione tangenziale
L'accelerazione tangenziale o, come viene anche chiamata, tangenziale è una componente dell'accelerazione completa, che è diretta tangenzialmente alla traiettoria del movimento. Poiché anche la velocità è diretta lungo la traiettoria, il vettore di accelerazione tangenziale coincide con il vettore di velocità.
Il concetto di accelerazione come misura del cambiamento di velocità è stato dato sopra. Poiché la velocità è un vettore, può essere modificata in modulo o in direzione. L'accelerazione tangenziale determina solo la variazione del modulo di velocità.
Si noti che nel caso di moto rettilineo, il vettore velocità non cambia direzione, quindi, secondo la definizione sopra, l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione lineare hanno lo stesso valore.
Come ottenere l'equazione dell'accelerazione tangenziale
Supponiamo che il corpo si muova lungo una traiettoria curva. Allora la sua velocità v¯ nel punto prescelto può essere rappresentata come segue:
v¯=vut¯
Qui v è il modulo del vettore v¯, ut¯ è il vettore di velocità unitario diretto tangenzialmente alla traiettoria.
Usando la definizione matematica di accelerazione, otteniamo:
a¯=re¯/dt=re(vut¯)/dt=re/reut ¯ + vd(ut¯)/dt
Quando si trova la derivata, qui è stata utilizzata la proprietà del prodotto di due funzioni. Vediamo che l'accelerazione totale a¯ nel punto considerato corrisponde alla somma di due termini. Sono rispettivamente l'accelerazione tangente e normale del punto.
Diciamo qualche parola sull'accelerazione normale. È responsabile della modifica del vettore di velocità, cioè della modifica della direzione del movimento del corpo lungo la curva. Se calcoliamo esplicitamente il valore del secondo termine, otteniamo la formula per l'accelerazione normale:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
L'accelerazione normale è diretta lungo la normale ripristinata al punto dato della curva. Nel caso del moto circolare, l'accelerazione normale è centripeta.
Equazione dell'accelerazione tangenziale at¯ è:
at¯=dv/dtut¯
Questa espressione dice che l'accelerazione tangenziale non corrisponde ad un cambiamento di direzione, ma ad un cambiamento nel modulo di velocità v¯ in un momento di tempo. Poiché l'accelerazione tangenziale è diretta tangenzialmente al punto considerato della traiettoria, è sempre perpendicolare alla componente normale.
Accelerazione tangenziale e modulo di accelerazione totale
Sono state presentate tutte le informazioni sopra che consentono di calcolare l'accelerazione totale attraverso la tangente e la normale. Infatti, poiché entrambe le componenti sono tra loro perpendicolari, i loro vettori formano le gambe di un triangolo rettangolo,la cui ipotenusa è il vettore di accelerazione totale. Questo fatto ci permette di scrivere la formula per il modulo di accelerazione totale nella forma seguente:
a=√(a2 + at2)
L'angolo θ tra la piena accelerazione e l'accelerazione tangenziale può essere definito come segue:
θ=arccos(at/a)
Maggiore è l'accelerazione tangenziale, più vicine sono le direzioni della tangenziale e dell'accelerazione completa.
Rapporto tra accelerazione tangenziale e angolare
Una tipica traiettoria curvilinea lungo la quale i corpi si muovono nella tecnologia e nella natura è un cerchio. In effetti, il movimento di ingranaggi, lame e pianeti attorno al proprio asse o attorno ai loro luminari avviene esattamente in un cerchio. Il movimento corrispondente a questa traiettoria è chiamato rotazione.
La cinematica di rotazione è caratterizzata dagli stessi valori della cinematica di moto lungo una retta, tuttavia hanno un carattere angolare. Quindi, per descrivere la rotazione, vengono utilizzati l'angolo di rotazione centrale θ, la velocità angolare ω e l'accelerazione α. Le seguenti formule sono valide per queste quantità:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Assumiamo che il corpo abbia compiuto un giro attorno all'asse di rotazione nel tempo t, quindi per la velocità angolare possiamo scrivere:
ω=2pi/t
La velocità lineare in questo caso sarà uguale a:
v=2pir/t
Dove r è il raggio della traiettoria. Le ultime due espressioni ci permettono di scriverela formula per il collegamento di due velocità:
v=ωr
Ora calcoliamo la derivata temporale dei lati sinistro e destro dell'equazione, otteniamo:
dv/dt=rdω/dt
Il lato destro dell'uguaglianza è il prodotto dell'accelerazione angolare e del raggio del cerchio. Il lato sinistro dell'equazione è la variazione del modulo di velocità, cioè l'accelerazione tangenziale.
Quindi, l'accelerazione tangenziale e un valore angolare simile sono correlati per uguaglianza:
at=αr
Se assumiamo che il disco stia ruotando, l'accelerazione tangenziale di un punto a un valore costante di α aumenterà linearmente con l'aumentare della distanza da questo punto all'asse di rotazione r.
Successivamente, risolveremo due problemi usando le formule di cui sopra.
Determinazione dell'accelerazione tangenziale da una funzione di velocità nota
È noto che la velocità di un corpo che si muove lungo una certa traiettoria curva è descritta dalla seguente funzione del tempo:
v=2t2+ 3t + 5
È necessario determinare la formula per l'accelerazione tangenziale e trovarne il valore al tempo t=5 secondi.
In primo luogo, scriviamo la formula per il modulo di accelerazione tangenziale:
at=dv/dt
Ovvero, per calcolare la funzione at(t), dovresti determinare la derivata della velocità rispetto al tempo. Abbiamo:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Sostituendo il tempo t=5 secondi nell'espressione risultante, arriviamo alla risposta: at=23 m/s2.
Nota che il grafico della velocità in funzione del tempo in questo problema è una parabola, mentre il grafico dell'accelerazione tangenziale è una linea retta.
Attività di accelerazione tangenziale
È noto che il punto materiale ha iniziato una rotazione uniformemente accelerata dal momento zero. 10 secondi dopo l'inizio della rotazione, la sua accelerazione centripeta è diventata pari a 20 m/s2. È necessario determinare l'accelerazione tangenziale di un punto dopo 10 secondi, se è noto che il raggio di rotazione è 1 metro.
In primo luogo, annota la formula per l'accelerazione centripeta o normale ac:
ac=v2/r
Usando la formula per la relazione tra velocità lineare e angolare, otteniamo:
ac=ω2r
Nel movimento uniformemente accelerato, la velocità e l'accelerazione angolare sono correlate dalla formula:
ω=αt
Sostituendo ω nell'equazione per ac, otteniamo:
ac=α2t2r
L'accelerazione lineare attraverso l'accelerazione tangenziale è espressa come segue:
α=at/r
Sostituisci l'ultima uguaglianza con la penultima, otteniamo:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(lacr)/t
L'ultima formula, tenendo conto dei dati della condizione del problema, porta alla risposta: at=0, 447m/s2.
