Una delle sezioni fondamentali dell'analisi matematica è il calcolo integrale. Copre il più ampio campo di oggetti, dove il primo è l'integrale indefinito. Vale la pena posizionarlo come una chiave, che anche al liceo rivela un numero crescente di prospettive e opportunità descritte dalla matematica superiore.
Aspetto
A prima vista, l'integrale sembra assolutamente moderno, rilevante, ma in pratica risulta che apparve già nel 1800 aC. L'Egitto è ufficialmente considerato la patria, poiché non ci sono pervenute prove precedenti della sua esistenza. Lui, per mancanza di informazioni, tutto questo tempo è stato posizionato semplicemente come un fenomeno. Ha confermato ancora una volta il livello di sviluppo della scienza tra i popoli di quei tempi. Infine sono state ritrovate le opere di antichi matematici greci risalenti al IV secolo a. C. Hanno descritto un metodo in cui è stato utilizzato un integrale indefinito, la cui essenza era trovare il volume o l'area di una figura curvilinea (tridimensionalee piani bidimensionali, rispettivamente). Il principio di calcolo si basava sulla divisione della cifra originaria in componenti infinitesime, a condizione che il loro volume (area) fosse già noto. Nel tempo il metodo è cresciuto, Archimede lo ha utilizzato per trovare l'area di una parabola. Calcoli simili sono stati eseguiti contemporaneamente da scienziati nell'antica Cina, ed erano completamente indipendenti dalle loro controparti greche nella scienza.
Sviluppo
La svolta successiva nell'XI secolo d. C. fu il lavoro dello scienziato arabo-"universale" Abu Ali al-Basri, che spinse i confini di ciò che era già noto, derivando formule basate sull'integrale per calcolare le somme di righe e le somme delle potenze dalla prima alla quarta, applicando per questo il metodo di induzione matematica a noi noto.
Le menti dei tempi moderni ammirano come gli antichi egizi creassero incredibili monumenti architettonici senza alcun dispositivo speciale, tranne forse le loro mani, ma il potere della mente degli scienziati di quel tempo non è un miracolo? Rispetto ad oggi, la loro vita sembra quasi primitiva, ma la soluzione degli integrali indefiniti è stata derivata ovunque e utilizzata in pratica per un ulteriore sviluppo.
Il passo successivo avvenne nel XVI secolo, quando il matematico italiano Cavalieri sviluppò il metodo degli indivisibili, ripreso da Pierre Fermat. Furono queste due personalità a gettare le basi per il moderno calcolo integrale, che è noto al momento. Hanno collegato i concetti di differenziazione e integrazione, che erano in precedenzatrattati come unità autonome. In generale, la matematica di quei tempi era frammentata, le particelle delle conclusioni esistevano da sole, con una portata limitata. Il percorso di unificazione e ricerca di un terreno comune era l'unico vero in quel momento, grazie al quale la moderna analisi matematica ha avuto l'opportunità di crescere e svilupparsi.
Tutto è cambiato nel tempo, inclusa la notazione dell'integrale. In generale, gli scienziati lo hanno indicato con tutti i mezzi, ad esempio, Newton ha usato un'icona quadrata in cui ha posizionato una funzione integrabile o semplicemente l'ha messa accanto ad essa.
Questa incoerenza continuò fino al XVII secolo, quando lo scienziato Gottfried Leibniz, punto di riferimento per l'intera teoria dell'analisi matematica, introdusse il simbolo a noi così familiare. La "S" allungata si basa infatti su questa lettera dell'alfabeto latino, in quanto denota la somma degli antiderivati. L'integrale ha preso il nome grazie a Jacob Bernoulli 15 anni dopo.
Definizione formale
L'integrale indefinito dipende direttamente dalla definizione dell'antiderivata, quindi consideriamolo prima.
Un'antiderivata è una funzione che è l'inversa di una derivata, in pratica è detta anche primitiva. Altrimenti: l'antiderivata di una funzione d è una funzione D la cui derivata è uguale a v V'=v. La ricerca dell'antiderivata è il calcolo dell'integrale indefinito, e questo processo stesso è chiamato integrazione.
Esempio:
Funzione s(y)=y3, e la sua antiderivata S(y)=(y4/4).
L'insieme di tutte le antiderivate della funzione in esame è l'integrale indefinito, si denota come segue: ∫v(x)dx.
A causa del fatto che V(x) è solo una qualche antiderivata della funzione originaria, si ha l'espressione: ∫v(x)dx=V(x) + C, dove C è una costante. Una costante arbitraria è qualsiasi costante, poiché la sua derivata è uguale a zero.
Proprietà
Le proprietà dell'integrale indefinito si basano sulla definizione principale e sulle proprietà delle derivate.
Diamo un'occhiata ai punti chiave:
- l'integrale dalla derivata dell'antiderivativa è l'antiderivativa stessa più una costante arbitraria С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- la derivata dell'integrale della funzione è la funzione originale (∫v(x)dx)'=v(x);
- costante viene detratta da sotto il segno di integrale ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, dove k è arbitrario;
- l'integrale ricavato dalla somma è identicamente uguale alla somma degli integrali ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Dalle ultime due proprietà, possiamo concludere che l'integrale indefinito è lineare. Grazie a ciò, abbiamo: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Per consolidare, considera esempi di risoluzione di integrali indefiniti.
È necessario trovare l'integrale ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Dall'esempio possiamo concludere:non sai come risolvere integrali indefiniti? Trova tutti i primitivi! Ma i principi della ricerca saranno considerati di seguito.
Metodi ed esempi
Per risolvere l'integrale, puoi ricorrere ai seguenti metodi:
- usa la tabella preparata;
- integra per parti;
- integrare cambiando la variabile;
- portare sotto il segno del differenziale.
Tabelle
Il modo più semplice e divertente. Al momento, l'analisi matematica vanta tabelle piuttosto estese in cui sono scritte le formule di base degli integrali indefiniti. In altre parole, ci sono modelli che sono stati sviluppati prima di te e per te non resta che usarli. Ecco un elenco delle posizioni principali della tabella da cui puoi derivare quasi tutti gli esempi che hanno una soluzione:
- ∫0dy=C, dove C è una costante;
- ∫dy=y + C, dove C è una costante;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, dove C è una costante e n - numero non uno;
- ∫(1/a)dy=ln|y| + C, dove C è una costante;
- ∫eydy=ey + C, dove C è una costante;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, dove C è una costante;
- ∫cosydy=siny + C, dove C è una costante;
- ∫sinydy=-cosy + C, dove C è una costante;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, dove C è una costante;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, dove C è una costante;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, dove C è una costante;
- ∫chydy=timido + C, dove C -costante;
- ∫ timido=chy + C, dove C è una costante.
Se necessario, fai un paio di passi, porta l'integrando in una forma tabellare e goditi la vittoria. Esempio: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Secondo la soluzione, è chiaro che per l'esempio tabulare l'integrando manca di un fattore 5. Lo aggiungiamo moltiplicandolo per 1/5 in parallelo in modo che l'espressione generale non cambi.
Integrazione per parti
Considera due funzioni: z(y) e x(y). Devono essere continuamente differenziabili nell'intero dominio di definizione. Secondo una delle proprietà di differenziazione, abbiamo: d(xz)=xdz + zdx. Integrando entrambe le parti dell'equazione, otteniamo: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Riscrivendo l'uguaglianza risultante, otteniamo una formula che descrive il metodo di integrazione per parti: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Perché è necessario? Il punto è che alcuni esempi possono essere semplificati, condizionatamente parlando, riducendo ∫zdx a ∫xdz se quest'ultimo è vicino alla forma tabulare. Inoltre, questa formula può essere applicata più di una volta, ottenendo risultati ottimali.
Come risolvere integrali indefiniti in questo modo:
necessità di calcolare ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
necessità di calcolare ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Sostituzione variabile
Questo principio di risoluzione degli integrali indefiniti non è meno richiesto dei due precedenti, sebbene sia più complicato. Il metodo è il seguente: sia V(x) l'integrale di qualche funzione v(x). Nel caso in cui l'integrale stesso nell'esempio risulti complesso, c'è un' alta probabilità di confondersi e prendere la strada sbagliata della soluzione. Per evitare ciò si pratica il passaggio dalla variabile x a z, in cui l'espressione generale è visivamente semplificata mantenendo la dipendenza di z da x.
Matematicamente si presenta così: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), dove x=y(z) è una sostituzione. E, naturalmente, la funzione inversa z=y-1(x) descrive completamente la dipendenza e la relazione delle variabili. Nota importante - il differenziale dx è necessariamente sostituito da un nuovo differenziale dz, poiché la sostituzione di una variabile nell'integrale indefinito implica la sua sostituzione ovunque, e non solo nell'integrando.
Esempio:
è necessario trovare ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Applica la sostituzione z=(s+1)/(s2+2s-5). Quindi dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Di conseguenza, otteniamo la seguente espressione, molto facile da calcolare:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
necessità di trovare l'integrale∫2sesdx
Per risolvere, riscriviamo l'espressione nella seguente forma:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Indichiamo con a=2e (questo passaggio non sostituisce l'argomento, è ancora s), portiamo il nostro integrale apparentemente complesso in una forma tabulare elementare:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Portare sotto il segno del differenziale
In generale, questo metodo degli integrali indefiniti è un fratello gemello del principio del cambiamento variabile, ma ci sono differenze nel processo di progettazione. Diamo un'occhiata più da vicino.
Se ∫v(x)dx=V(x) + C e y=z(x), allora ∫v(y)dy=V(y) + C.
In questo caso non vanno dimenticate le banali trasformazioni integrali, tra le quali:
- dx=d(x + a), dove a è una costante qualsiasi;
- dx=(1 / a)d(ax + b), dove a è di nuovo una costante, ma non uguale a zero;
- xdx=1/2g(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Se consideriamo il caso generale quando calcoliamo l'integrale indefinito, gli esempi possono essere riassunti con la formula generale w'(x)dx=dw(x).
Esempi:
è necessario trovare ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Aiuto in linea
In alcuni casi, la cui colpa può essere la pigrizia o la necessità urgente, puoi utilizzare i suggerimenti online, o meglio, utilizzare il calcolatore integrale indefinito. Nonostante tutta l'apparente complessità e discutibilità degli integrali, la loro soluzione è soggetta a un certo algoritmo, che si basa sul principio "se non …, allora …".
Ovviamente, un calcolatore del genere non padroneggerà esempi particolarmente intricati, poiché ci sono casi in cui la soluzione deve essere trovata artificialmente, introducendo "forzatamente" determinati elementi nel processo, perché il risultato non può essere raggiunto in modo ovvio modi. Nonostante tutte le controversie di questa affermazione, è vero, poiché la matematica, in linea di principio, è una scienza astratta e considera la necessità di espandere i confini delle possibilità come il suo compito principale. In effetti, è estremamente difficile salire e svilupparsi secondo teorie fluide e approssimative, quindi non dovresti presumere che gli esempi di risoluzione di integrali indefiniti che abbiamo fornito siano l' altezza delle possibilità. Ma torniamo al lato tecnico delle cose. Almeno per controllare i calcoli, puoi utilizzare i servizi in cui è stato scritto tutto prima di noi. Se è necessario il calcolo automatico di un'espressione complessa, non è possibile farne a meno, dovrai ricorrere a un software più serio. Vale la pena prestare attenzione prima di tutto all'ambiente MatLab.
Applicazione
La soluzione degli integrali indefiniti a prima vista sembra completamente fuori dal contatto con la re altà, poiché è difficile vedere le ovvie aree di applicazione. Infatti, non possono essere utilizzati direttamente da nessuna parte, ma sono considerati un elemento intermedio necessario nel processo di derivazione delle soluzioni utilizzate nella pratica. Quindi, l'integrazione è inversa alla differenziazione, per cui partecipa attivamente al processo di risoluzione delle equazioni.
A loro volta, queste equazioni hanno un impatto diretto sulla soluzione dei problemi meccanici, sul calcolo delle traiettorie e sulla conducibilità termica, in breve, tutto ciò che costituisce il presente e plasma il futuro. L'integrale indefinito, esempi di cui abbiamo esaminato sopra, è banale solo a prima vista, poiché è la base per fare sempre più nuove scoperte.
