Gli studenti di matematica superiore dovrebbero essere consapevoli che la somma di alcune serie di potenze appartenenti all'intervallo di convergenza di una data serie risulta essere una funzione continua e infinitamente differenziata. Sorge la domanda: è possibile affermare che una data funzione arbitraria f(x) è la somma di alcune serie di potenze? Cioè, in quali condizioni la funzione f(x) può essere rappresentata da una serie di potenze? L'importanza di questa domanda sta nel fatto che è possibile sostituire approssimativamente la funzione f(x) con la somma dei primi termini della serie di potenze, cioè con un polinomio. Tale sostituzione di una funzione con un'espressione piuttosto semplice - un polinomio - è conveniente anche quando si risolvono alcuni problemi di analisi matematica, ovvero: quando si risolvono integrali, quando si calcolano equazioni differenziali, ecc.
E' stato dimostrato che per alcune funzioni f(х) dove si possono calcolare derivati fino a (n+1)° ordine, compreso l'ultimo, nell'intorno (α - R; x0 + R) di un punto x=α vale la formula:
Questa formula prende il nome dal famoso scienziato Brook Taylor. La serie che si ottiene dalla precedente si chiama serie Maclaurin:
La regola che rende possibile l'espansione in una serie di Maclaurin:
- Determina le derivate del primo, secondo, terzo… ordine.
- Calcola a cosa sono uguali le derivate a x=0.
- Registrare la serie di Maclaurin per questa funzione, quindi determinare l'intervallo della sua convergenza.
- Determina l'intervallo (-R;R) in cui il resto della formula di Maclaurin
R (x) -> 0 per n -> infinito. Se ne esiste una, la funzione f(x) in essa contenuta deve coincidere con la somma della serie di Maclaurin.
Ora considera la serie Maclaurin per le singole funzioni.
1. Quindi, il primo sarà f(x)=ex. Naturalmente, secondo le sue caratteristiche, tale funzione ha derivate di vari ordini, e f(k)(x)=ex, dove k è uguale a tutto numeri naturali. Sostituiamo x=0. Otteniamo f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… sarebbe simile a questo:
2. La serie di Maclaurin per la funzione f(x)=sin x. Chiarire immediatamente che la funzione per tutte le incognite avrà derivate, oltre a f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), dove k è uguale a qualsiasi numero naturale. Cioè, dopo aver fatto semplici calcoli, possiamo giungere alla conclusione che la serie per f(x)=sin x sarà simile a questa:
3. Proviamo ora a considerare la funzione f(x)=cos x. Lei è per tutto l'ignotoha derivate di ordine arbitrario, e |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Anche in questo caso, dopo aver fatto alcuni calcoli, otteniamo che la serie per f(x)=cos x sarà simile a questa:
Quindi, abbiamo elencato le funzioni più importanti che possono essere espanse nella serie di Maclaurin, ma sono state integrate dalla serie di Taylor per alcune funzioni. Ora li elencheremo. Vale anche la pena notare che le serie di Taylor e Maclaurin sono una parte importante della pratica di risoluzione delle serie nella matematica superiore. Quindi, serie Taylor.
1. La prima sarà una serie per f-ii f(x)=ln(1+x). Come negli esempi precedenti, dati f (x)=ln (1 + x), possiamo aggiungere una serie usando la forma generale della serie di Maclaurin. tuttavia, per questa funzione, la serie Maclaurin può essere ottenuta in modo molto più semplice. Dopo aver integrato una certa serie geometrica, otteniamo una serie per f(x)=ln(1+x) di questo esempio:
2. E il secondo, che sarà definitivo nel nostro articolo, sarà una serie per f (x) u003d arctg x. Per x appartenente all'intervallo [-1;1], l'espansione è valida:
Ecco fatto. Questo articolo ha esaminato le serie di Taylor e Maclaurin più comunemente utilizzate nella matematica superiore, in particolare nelle università economiche e tecniche.
