Nel corso scolastico di geometria solida, una delle figure più semplici che ha dimensioni diverse da zero lungo tre assi spaziali è un prisma quadrangolare. Considera nell'articolo che tipo di figura è, di quali elementi è composta e anche come puoi calcolarne la superficie e il volume.
Il concetto di prisma
In geometria, un prisma è una figura spaziale, che è formata da due basi e superfici laterali identiche che collegano i lati di queste basi. Si noti che entrambe le basi vengono trasformate l'una nell' altra usando l'operazione di traslazione parallela di un vettore. Questa assegnazione del prisma porta al fatto che tutti i suoi lati sono sempre parallelogrammi.
Il numero di lati della base può essere arbitrario, a partire da tre. Quando questo numero tende all'infinito, il prisma si trasforma dolcemente in un cilindro, poiché la sua base diventa un cerchio, ei parallelogrammi laterali, collegandosi, formano una superficie cilindrica.
Come ogni poliedro, un prisma è caratterizzato dalati (piani che delimitano la figura), bordi (segmenti lungo i quali si intersecano due lati qualsiasi) e vertici (punti di incontro di tre lati, per un prisma due di essi sono laterali e il terzo è la base). Le quantità dei tre elementi nominati della figura sono interconnesse dalla seguente espressione:
P=C + SI - 2
Qui P, C e B sono rispettivamente il numero di spigoli, lati e vertici. Questa espressione è la notazione matematica del teorema di Eulero.
L'immagine sopra mostra due prismi. Alla base di uno di essi (A) giace un esagono regolare, e i lati laterali sono perpendicolari alle basi. La figura B mostra un altro prisma. I suoi lati non sono più perpendicolari alle basi e la base è un pentagono regolare.
Cos'è un prisma quadrangolare?
Come risulta dalla descrizione precedente, il tipo di prisma è determinato principalmente dal tipo di poligono che forma la base (entrambe le basi sono uguali, quindi possiamo parlare di una di esse). Se questo poligono è un parallelogramma, otteniamo un prisma quadrangolare. Pertanto, tutti i lati di questo tipo di prisma sono parallelogrammi. Un prisma quadrangolare ha il suo nome: un parallelepipedo.
Il numero di lati di un parallelepipedo è sei, e ogni lato ha un parallelo simile. Poiché le basi della scatola sono due lati, i restanti quattro sono laterali.
Il numero di vertici del parallelepipedo è otto, cosa facile da vedere se ricordiamo che i vertici del prisma si formano solo ai vertici dei poligoni di base (4x2=8). Applicando il teorema di Eulero, otteniamo il numero di archi:
P=C + SI - 2=6 + 8 - 2=12
Su 12 costole, solo 4 sono formate indipendentemente dai lati. I restanti 8 giacciono sui piani delle basi della figura.
Più avanti nell'articolo parleremo solo di prismi quadrangolari.
Tipi di parallelepipedi
Il primo tipo di classificazione riguarda le caratteristiche del parallelogramma sottostante. Potrebbe assomigliare a questo:
- regular, i cui angoli non sono uguali a 90o;
- rettangolo;
- un quadrato è un quadrilatero regolare.
Il secondo tipo di classificazione è l'angolo con cui il lato incrocia la base. Qui sono possibili due diversi casi:
- questo angolo non è diritto, quindi il prisma si chiama obliquo o obliquo;
- l'angolo è 90o, quindi un tale prisma è rettangolare o semplicemente diritto.
Il terzo tipo di classificazione riguarda l' altezza del prisma. Se il prisma è rettangolare e la base è un quadrato o un rettangolo, allora si parla di cuboide. Se c'è un quadrato alla base, il prisma è rettangolare e la sua altezza è uguale alla lunghezza del lato del quadrato, allora otteniamo la famosa figura del cubo.
Superficie e area del prisma
L'insieme di tutti i punti che giacciono su due basi di un prisma(parallelogrammi) e ai suoi lati (quattro parallelogrammi) formano la superficie della figura. L'area di questa superficie può essere calcolata calcolando l'area della base e questo valore per la superficie laterale. Quindi la loro somma darà il valore desiderato. Matematicamente, questo è scritto come segue:
S=2So+ Sb
Qui So e Sb sono rispettivamente l'area della base e della superficie laterale. Il numero 2 prima di So appare perché ci sono due basi.
Si noti che la formula scritta è valida per qualsiasi prisma, e non solo per l'area di un prisma quadrangolare.
È utile ricordare che l'area di un parallelogramma Sp si calcola con la formula:
Sp=ah
Dove i simboli a e h indicano rispettivamente la lunghezza di uno dei suoi lati e l' altezza disegnata su questo lato.
L'area di un prisma rettangolare a base quadrata
In un prisma quadrangolare regolare, la base è un quadrato. Per certezza, indichiamo il suo lato con la lettera a. Per calcolare l'area di un prisma quadrangolare regolare, dovresti conoscerne l' altezza. Secondo la definizione di questa quantità, è uguale alla lunghezza della perpendicolare caduta da una base all' altra, cioè uguale alla distanza tra loro. Indichiamolo con la lettera h. Poiché tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi per il tipo di prisma in esame, l' altezza di un prisma quadrangolare regolare sarà uguale alla lunghezza del suo bordo laterale.
BLa formula generale per la superficie di un prisma è di due termini. L'area della base in questo caso è facile da calcolare, è uguale a:
So=a2
Per calcolare l'area della superficie laterale, argomentiamo come segue: questa superficie è formata da 4 rettangoli identici. Inoltre, i lati di ciascuno di essi sono uguali ad a e h. Ciò significa che l'area di Sb sarà uguale a:
Sb=4ah
Nota che il prodotto 4a è il perimetro della base quadrata. Se generalizziamo questa espressione al caso di una base arbitraria, allora per un prisma rettangolare la superficie laterale può essere calcolata come segue:
Sb=Poh
Dove Po è il perimetro della base.
Tornando al problema del calcolo dell'area di un prisma quadrangolare regolare, possiamo scrivere la formula finale:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Area di un parallelepipedo obliquo
Calcolarlo è un po' più difficile che per uno rettangolare. In questo caso, l'area di base di un prisma quadrangolare viene calcolata utilizzando la stessa formula di un parallelogramma. Le modifiche riguardano il modo in cui viene determinata la superficie laterale.
Per fare ciò, usa la stessa formula attraverso il perimetro come indicato nel paragrafo precedente. Solo ora avrà moltiplicatori leggermente diversi. La formula generale per Sb nel caso di un prisma obliquo è:
Sb=Psrc
Qui c è la lunghezza del bordo laterale della figura. Il valore Psr è il perimetro della fetta rettangolare. Questo ambiente è costruito come segue: è necessario intersecare tutte le facce laterali con un piano in modo che sia perpendicolare a tutte loro. Il rettangolo risultante sarà il taglio desiderato.
La figura sopra mostra un esempio di una scatola obliqua. La sua sezione tratteggiata forma un angolo retto con i lati. Il perimetro della sezione è Psr. È formato da quattro altezze di parallelogrammi laterali. Per questo prisma quadrangolare, l'area della superficie laterale viene calcolata utilizzando la formula sopra.
La lunghezza della diagonale di un cuboide
La diagonale di un parallelepipedo è un segmento che collega due vertici che non hanno lati comuni che li formano. Ci sono solo quattro diagonali in ogni prisma quadrangolare. Per un cuboide con un rettangolo alla base, le lunghezze di tutte le diagonali sono uguali tra loro.
La figura seguente mostra la cifra corrispondente. Il segmento rosso è la sua diagonale.
Calcolare la sua lunghezza è molto semplice, se ricordi il teorema di Pitagora. Ogni studente può ottenere la formula desiderata. Ha la seguente forma:
RE=√(LA2+ B2 + C2)
Qui D è la lunghezza della diagonale. I caratteri rimanenti sono le lunghezze dei lati della scatola.
Molte persone confondono la diagonale di un parallelepipedo con le diagonali dei suoi lati. Di seguito è una foto in cui il coloratoi segmenti rappresentano le diagonali dei lati della figura.
La lunghezza di ciascuno di essi è determinata anche dal teorema di Pitagora ed è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle corrispondenti lunghezze dei lati.
Volume prisma
Oltre all'area di un prisma quadrangolare regolare o di altri tipi di prismi, per risolvere alcuni problemi geometrici, dovresti conoscerne anche il volume. Questo valore per qualsiasi prisma è calcolato dalla seguente formula:
V=Soh
Se il prisma è rettangolare, basta calcolare l'area della sua base e moltiplicarla per la lunghezza del bordo del lato per ottenere il volume della figura.
Se il prisma è un normale prisma quadrangolare, il suo volume sarà:
V=a2h.
È facile vedere che questa formula viene convertita in un'espressione per il volume di un cubo se la lunghezza dello spigolo laterale h è uguale al lato della base a.
Problema con un cubo
Per consolidare il materiale studiato, risolveremo il seguente problema: esiste un parallelepipedo rettangolare i cui lati sono 3 cm, 4 cm e 5 cm, bisogna calcolarne la superficie, la diagonale ed il volume.
Per certezza, assumiamo che la base della figura sia un rettangolo con i lati di 3 cm e 4 cm, quindi la sua area è 12 cm2, e il punto è 14 cm Usando la formula per la superficie del prisma, otteniamo:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Per determinare la lunghezza della diagonale e il volume della figura, puoi utilizzare direttamente le espressioni sopra:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problema con un parallelepipedo obliquo
La figura sotto mostra un prisma obliquo. I suoi lati sono uguali: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm Devi trovare la superficie di questa figura.
In primo luogo, determiniamo l'area della base. La figura mostra che l'angolo acuto è 50o. Allora la sua area è:
So=ha=sin(50o)ba
Per determinare l'area della superficie laterale, dovresti trovare il perimetro del rettangolo ombreggiato. I lati di questo rettangolo sono asin(45o) e bsin(60o). Allora il perimetro di questo rettangolo è:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
La superficie totale di questa scatola è:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Sostituiamo i dati della condizione del problema con le lunghezze dei lati della figura, otteniamo la risposta:
S=458, 5496 cm3
Si può vedere dalla soluzione di questo problema che le funzioni trigonometriche vengono utilizzate per determinare le aree delle figure oblique.
