Se il movimento lineare dei corpi è descritto nella meccanica classica usando le leggi di Newton, allora le caratteristiche del movimento dei sistemi meccanici lungo traiettorie circolari sono calcolate usando un'espressione speciale, che è chiamata equazione dei momenti. Di quali momenti stiamo parlando e qual è il significato di questa equazione? Queste e altre domande sono rivelate nell'articolo.
Momento di forza
Tutti sono ben consapevoli della forza newtoniana che, agendo sul corpo, porta ad impartire accelerazione allo stesso. Quando una tale forza viene applicata a un oggetto che è fissato su un certo asse di rotazione, questa caratteristica viene solitamente chiamata momento di forza. L'equazione del momento della forza può essere scritta come segue:
M¯=L¯F¯
L'immagine che spiega questa espressione è mostrata sotto.
Qui puoi vedere che la forza F¯ è diretta al vettore L¯ con un angolo Φ. Si presume che il vettore L¯ stesso sia diretto dall'asse di rotazione (indicato dalla freccia) al punto di applicazioneF¯.
La formula sopra è un prodotto di due vettori, quindi anche M¯ è direzionale. Dove sarà girato il momento di forza M¯? Questo può essere determinato dalla regola della mano destra (quattro dita sono dirette lungo la traiettoria dalla fine del vettore L¯ alla fine di F¯, e il pollice sinistro indica la direzione di M¯).
Nella figura sopra, l'espressione per il momento di forza in forma scalare assumerà la forma:
M=LFpeccato(Φ)
Se guardi da vicino la figura, puoi vedere che Lsin(Φ)=d, allora abbiamo la formula:
M=reF
Il valore di d è una caratteristica importante nel calcolo del momento di forza, poiché riflette l'efficacia della F applicata al sistema. Questo valore è chiamato leva della forza.
Il significato fisico di M risiede nella capacità della forza di ruotare il sistema. Tutti possono sentire questa capacità se aprono la porta per la maniglia, spingendola vicino ai cardini, o se provano a svitare il dado con una chiave corta e una lunga.
Equilibrio del sistema
Il concetto di momento di forza è molto utile quando si considera l'equilibrio di un sistema su cui agisce più forze e ha un asse o un punto di rotazione. In questi casi, applica la formula:
∑iMi¯=0
Cioè, il sistema sarà in equilibrio se la somma di tutti i momenti delle forze applicate ad esso è zero. Nota che in questa formula c'è un segno vettoriale nel momento, cioè quando si risolve, non bisogna dimenticare di prendere in considerazione il segno di questole quantità. La regola generalmente accettata è che la forza agente che ruota il sistema in senso antiorario crea un positivo Mi¯.
Un esempio lampante di problemi di questo tipo sono i problemi con l'equilibrio delle leve di Archimede.
Momento di slancio
Questa è un' altra importante caratteristica del movimento circolare. In fisica, è descritto come il prodotto della quantità di moto e della leva. L'equazione della quantità di moto si presenta così:
T¯=r¯p¯
Qui p¯ è il vettore della quantità di moto, r¯ è il vettore che connette il punto materiale rotante con l'asse.
La figura sotto illustra questa espressione.
Qui ω è la velocità angolare, che apparirà più avanti nell'equazione del momento. Si noti che la direzione del vettore T¯ si trova con la stessa regola di M¯. Nella figura sopra, T¯ in direzione coinciderà con il vettore di velocità angolare ω¯.
Il significato fisico di T¯ è lo stesso delle caratteristiche di p¯ nel caso del movimento lineare, cioè il momento angolare descrive la quantità di movimento rotatorio (energia cinetica immagazzinata).
Momento di inerzia
La terza caratteristica importante, senza la quale è impossibile formulare l'equazione del moto di un oggetto rotante, è il momento di inerzia. Appare in fisica come risultato di trasformazioni matematiche della formula per il momento angolare di un punto materiale. Ti mostriamo come si fa.
Immaginiamo il valoreT¯ come segue:
T¯=r¯mv¯, dove p¯=mv¯
Usando la relazione tra le velocità angolari e lineari, possiamo riscrivere questa espressione come segue:
T¯=r¯mr¯ω¯, dove v¯=r¯ω¯
Scrivi l'ultima espressione come segue:
T¯=r2mω¯
Il valore r2m è il momento di inerzia I per un punto di massa m che compie un movimento circolare attorno ad un asse ad una distanza r da esso. Questo caso speciale permette di introdurre l'equazione generale del momento d'inerzia per un corpo di forma arbitraria:
I=∫m (r2dm)
I è una quantità additiva, il cui significato sta nell'inerzia del sistema rotante. Più grande è I, più è difficile far girare il corpo e ci vuole uno sforzo considerevole per fermarlo.
Equazione del momento
Abbiamo considerato tre quantità, il cui nome inizia con la parola "momento". Ciò è stato fatto intenzionalmente, poiché sono tutti collegati in un'unica espressione, chiamata equazione a 3 momenti. Facciamolo uscire.
Considera l'espressione per il momento angolare T¯:
T¯=Iω¯
Trova come cambia il valore di T¯ nel tempo, abbiamo:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Dato che la derivata della velocità angolare è uguale a quella della velocità lineare divisa per r, ed espandendo il valore di I si arriva all'espressione:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, dove a¯=dv¯/dt è l'accelerazione lineare.
Nota che il prodotto di massa e accelerazione non è altro che la forza esterna agente F¯. Di conseguenza, otteniamo:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Siamo giunti a una conclusione interessante: la variazione del momento angolare è uguale al momento della forza esterna agente. Questa espressione è solitamente scritta in una forma leggermente diversa:
M¯=Iα¯, dove α¯=dω¯/dt - accelerazione angolare.
Questa uguaglianza è chiamata equazione dei momenti. Consente di calcolare qualsiasi caratteristica di un corpo rotante, conoscendo i parametri del sistema e l'entità dell'impatto esterno su di esso.
Legge di conservazione T¯
La conclusione ottenuta nel paragrafo precedente indica che se il momento esterno delle forze è uguale a zero, allora il momento angolare non cambierà. In questo caso, scriviamo l'espressione:
T¯=cost. o I1ω1¯=I2ω2 ¯
Questa formula è chiamata legge di conservazione di T¯. Cioè, qualsiasi modifica all'interno del sistema non cambia il momento angolare totale.
Questo fatto viene utilizzato dai pattinatori artistici e dalle ballerine durante le loro esibizioni. Viene anche utilizzato se è necessario ruotare un satellite artificiale che si muove nello spazio attorno al proprio asse.
